代数学特論 I 要約 NO.7

本講義後半のテーマ:

単項イデアル整域上の加群 (単因子論)

後半では、次の二つのことを「単項イデアル整域上の加群」の理論を用いて統一的に理解するのを目標とする。

• 有限アーベル群の基本定理

• ジョルダンの標準型 (既出)

今日のテーマ:

R-加群

体 k を決めるごとに、 k 上のベクトル空間というものが定義された。同様に、環 R に対して、 R 上の加群 (R-加群) というものが定義される。

定義 7.1. (単位元を持つ) 環 R が与えられているとする。加法群 (= 可換群で、「演算」を+の記号で書き表した群) M と、「 R の M への作用」

α : R × M ∋ (r, m) ↦ α(r, m) = r.m ∈ M

が、次のような性質を満たすとき、 M (正確には (M, α)) のことを R-加群という。

1. (双加法性)

r.(m_{1} + m_{2}) = r.m_{1} + r.m_{2} (∀r ∈ R, ∀m_{1}, m_{2} ∈ M)

(r_{1} + r_{2}).m = r_{1}.m + r_{2}.m (∀r_{1}, r_{2} ∈ R, ∀m ∈ M)

2. (結合法則)

(r_{1}r_{2}).m = r_{1}.(r_{2}.m) (∀r_{1}, r_{2} ∈ R, ∀m ∈ M)

3. (単位元の存在)

1.m = m (∀m ∈ M)

例 7.1. R が可換体のとき、 R-加群は R-ベクトル空間と同じである。

例 7.2. 任意の加法群は自然なしかたで ℤ-加群と見られる。

例 7.3. 可換体 k にたいし、 k^{n} は k-加群であると同時に、 M_{n}(k)-加群でもある。

例 7.4. R-加群 M が与えられているとする。 R の部分環 S にたいして、 M は自然なやり方 ( 「作用の制限」 ) で S-加群と見ることができる。

例 7.5. 任意の環 R に対して、 R^{n} には自然な R-加群の構造が入る。

例 7.6. 環 R のイデアル I は R-加群の構造を持つ。

ベクトル空間と R-加群の違いは、 (もちろん)R では割り算ができないところにある。問題を参照のこと。問題 7.1. 次のような性質を同時に満たす環 R と R-加群 M 、および r_{1}, r_{2} ∈ R \ {0}, v_{1}, v_{2} ∈ M の例を一つあげなさい。

1. r_{1}v_{1} + r_{2}v_{2} = 0

2. v_{1} ∉ Rv_{2} かつ v_{2} ∉ Rv_{1}.

(注意:この問題の答えは (気がつけば) 簡単であるのでできるだけほかの人と異なるように数字だけでもかえて書くこと。