代数学特論 I 要約 No.7

本講義後半のテーマ:

後半では、次の二つのことを「単項イデアル整域上の加群」の理論を用いて 統一的に理解するのを目標とする。

• 有限アーベル群の基本定理
• ジョルダンの標準型(既出)

今日のテーマ:

体 $k$ を決めるごとに、$k$ 上のベクトル空間というものが定義された。 同様に、環 $R$ に対して、$R$ 上の加群($R$-加群)というものが定義される。

定義 7.1 (単位元を持つ)   環 $R$ が与えられているとする。 加法群(=可換群で、「演算」を+の記号で書き表した群) $M$ と、 「 $R$ の $M$ への作用」

$$\alpha: R\times M \ni (r,m)\mapsto \alpha(r,m)=r.m \in M$$

が、次のような性質を満たすとき、 $M$ (正確には $(M,\alpha)$) のことを $R$-加群という。

1.

(双加法性)

$$r.(m_1+m_2)=r.m_1+r.m_2 \quad (\forall r\in R, \forall m_1,m_2\in M)$$

$$(r_1+r_2).m=r_1.m+r_2.m \quad (\forall r_1,r_2\in R, \forall m\in M)$$

2.

(結合法則)

$$(r_1r_2).m=r_1.(r_2.m) \quad (\forall r_1,r_2\in R, \forall m\in M)$$

3.

(単位元の存在)

$$1.m=m \quad (\forall m\in M)$$

例 7.1   $R$ が可換体のとき、$R$-加群は $R$-ベクトル空間と同じである。

例 7.2   任意の加法群は自然なしかたで ${\mbox{${\Bbb Z}$ }}$-加群と見られる。

例 7.3   可換体 $k$ にたいし、$k^n$ は $k$-加群であると同時に、$M_n(k)$-加群でもある。

例 7.4   $R$-加群 $M$ が与えられているとする。 $R$ の部分環 $S$ にたいして、 $M$ は自然なやり方(「作用の制限」)で $S$-加群と見ることができる。

例 7.5   任意の環 $R$ に対して、$R^n$ には自然な $R$-加群の構造が入る。

例 7.6   環 $R$ のイデアル $I$ は $R$-加群の構造を持つ。

ベクトル空間と $R$-加群の違いは、(もちろん)$R$ では割り算ができないところにある。問題を参照のこと。

問題 7.1   次のような性質を同時に満たす環 $R$ と $R$-加群 $M$ 、 および $r_1,r_2\in R\setminus \{0\}$, $v_1,v_2\in M$の例を一つあげなさい。

1.

$r_1v_1+r_2v_2=0$

2.

$v_1\notin Rv_2$ かつ $v_2 \notin Rv_1$.

(注意:この問題の答えは(気がつけば)簡単であるのでできるだけほかの人と 異なるように数字だけでもかえて書くこと。