代数学特論 I 要約 NO.8

今日のテーマ:

R-加群の部分加群と商加群・ R-加群の準同型定理 R-加群を扱うテクニックは、ベクトル空間や加法群を扱うときのテ

クニックとほぼ同様のものが使える。今回はそのなかでも主だったものを一通りあげておく。

定義 8.1. R-加群 M が与えられているとする。 M の部分集合 N が M の R-部分加群であるとは、 N が M の部分加群で、かつ R の作用について閉じているときにいう。

いいかえると、 M の R-部分加群とは「M の部分集合で R-加群の構造を持つもの」である。 (ただし、 R-加群としての構造は M のものを制限して得られるものでなければならない。 )

補題 8.1. 環 R と R-加群 M が与えられているとする。 M の部分集合 S に対して、次のことは同値である。

1. S を含む M の部分加群は M 自身しかない。

2. M = {∑_{有限和}r_{i}s_{i}; r_{i} ∈ R, s_{i} ∈ R}

定義 8.2. S がうえの補題の性質を満たすとき、「S は M を生成する」という。

定義 8.3. R-加群 M, N が与えられているとする。 M から N への写像 ϕ が R-準同型写像 (=R-加群としての準同型写像) であるとは、次の二つの性質を満たすときにいう。

1. ϕ は加群としての準同型である。すなわち、

ϕ(m_{1} + m_{2}) = ϕ(m_{1}) + ϕ(m_{2}) (∀m_{1}, m_{2} ∈ M)

が成り立つ。

2. ϕ は R の作用を保つ。すなわち、

ϕ(r.m) = r.ϕ(m) (∀r ∈ R, ∀m ∈ M)

が成り立つ。

補題 8.2. 環 R と R-加群 M, および M の R-部分加群 N が与えられているとする。このとき、商加群 M/N には R-加群の構造が自然に入る。

この M/N のことを M の N による商 R-加群という。定理 8.1 (R-加群の準同型定理).R 加群 M, N と R-準同型 ϕ : M → N が与えられているとする。このとき、

1. ϕ の像 Image(ϕ) は N の R-部分加群である。

2. ϕ の核 Ker(ϕ) = {m ∈ M; ϕ(m) = 0} は M の R-部分加群である。

3. ϕ は自然な同型 M/ Ker(ϕ) ≅ Image(ϕ) を誘導する。

問題 8.1. 環 R = ℤ/12ℤ 上の加群 M,N を

M = R^{3}, N = R^{2}

で定め、 M から N への R-準同型 ϕ を

ϕ((\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix})) = (\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix})

で定める。このとき、

1. ϕ は全射ではないことを示しなさい。 (ϕ の像になり得ない元を一つあげ、その理由を述べなさい。 )

2. ϕ の像の生成元を求めなさい。

3. ϕ の核の生成元を求めなさい。