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代数学特論 I 要約 No.8

今日のテーマ:

\fbox{$R$ -加群の部分加群と商加群・$R$ -加群の準同型定理}

$R$-加群を扱うテクニックは、ベクトル空間や加法群を扱うときのテクニックと ほぼ同様のものが使える。今回はそのなかでも主だったものを一通りあげておく。

定義 8.1   $R$-加群 $M$ が与えられているとする。$M$ の部分集合 $N$$M$$R$-部分加群 であるとは、$N$$M$ の部分加群で、かつ $R$ の作用について閉じているときに いう。

いいかえると、$M$$R$-部分加群とは 「$M$ の部分集合で $R$-加群の構造を持つもの」である。 (ただし、$R$-加群としての構造は $M$ のものを制限して 得られるものでなければならない。)

補題 8.1   環 $R$$R$-加群 $M$ が与えられているとする。$M$ の 部分集合 $S$ に対して、次のことは同値である。
1.
$S$ を含む $M$ の部分加群は $M$ 自身しかない。
2.
$M=\{\sum_{\text{有限和}} r_i s_i; r_i \in R , s_i \in R\}$

定義 8.2   $S$ がうえの補題の性質を満たすとき、「$S$$M$ を生成する」という。

定義 8.3   $R$-加群 $M,N$ が与えられているとする。$M$ から $N$ への写像 $\phi$$R$-準同型写像(=$R$-加群としての準同型写像)であるとは、次の二つの性質を 満たすときにいう。
1.
$\phi$ は加群としての準同型である。すなわち、

\begin{displaymath}\phi(m_1+m_2)=\phi(m_1)+\phi(m_2) \quad (\forall m_1,m_2 \in M)
\end{displaymath}

が成り立つ。

2.
$\phi$$R$ の作用を保つ。すなわち、

\begin{displaymath}\phi(r.m)=r.\phi(m) \quad (\forall r\in R, \forall m \in M)
\end{displaymath}

が成り立つ。

補題 8.2   環 $R$$R$-加群 $M$, および $M$$R$-部分加群 $N$ が与えられているとする。 このとき、商加群 $M/N$ には $R$-加群の構造が自然に入る。

この $M/N$ のことを $M$$N$ による商 $R$-加群という。

定理 8.1   ] $R$ 加群 $M,N$$R$-準同型 $\phi: M\to N$ が与えられているとする。 このとき、
1.
$\phi$ の像 $\operatorname{Image}(\phi)$$N$$R$-部分加群である。
2.
$\phi$ の核 $\operatorname{Ker}(\phi)=\{m\in M; \phi(m)=0\}$$M$$R$-部分加群である。
3.
$\phi$ は自然な同型 $M/\operatorname{Ker}(\phi)\cong\operatorname{Image}(\phi)$ を誘導する。

問題 8.1   環 $R={\mbox{${\Bbb Z}$ }}/12{\mbox{${\Bbb Z}$ }}$ 上の加群$M$,$N$

\begin{displaymath}M=R^3, N=R^2
\end{displaymath}

で定め、$M$ から$N$ への$R$-準同型 $\phi$

\begin{displaymath}\phi(
\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix})
=
\begin{p...
...& 3& 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}\end{displaymath}

で定める。 このとき、
1.
$\phi$ は全射ではないことを示しなさい。($\phi$ の像になり得ない元を 一つあげ、その理由を述べなさい。)
2.
$\phi$ の像の生成元を求めなさい。
3.
$\phi$ の核の生成元を求めなさい。



Yoshifumi Tsuchimoto
2000-11-21