代数学特論 I 要約 NO.9

今日のテーマ:

有限生成 R-加群

定義 9.1. R-加群 M が与えられているとする。 M の部分集合 N が M の R-部分加群であるとは、 N が M の部分加群で、かつ R の作用について閉じているときにいう。

いいかえると、 M の R-部分加群とは「M の部分集合で R-加群の構造を持つもの」である。 (ただし、 R-加群としての構造は M のものを制限して得られるものでなければならない。 )

補題 9.1. 環 R と R-加群 M が与えられているとする。 M の元 m_{1}, … m_{n} に対して、次のことは同値である。

1. {m_{1}, …, m_{n}} は M を生成する。

2. Rm_{1} + … Rm_{n} = M.

3. R^{n} から M への写像

R^{n} ∋ (r_{1}, …, r_{n}) ↦ r_{1}m_{1} + … r_{n}m_{n}

は全射である。

定義 9.2. M が (R-加群として) 有限個の元で生成されるとき、「M は有限生成 R-加群である」という。

定義 9.3. 可換環 R の任意のイデアルが有限生成であるとき、 R はネーター環であるという。

PID は当然ネーター環である。とくに整数全体のなす環 ℤ および体 k 上の１変数多項式環 k[X] はネーター環である。一般に、ネーター環 R 上の n-変数多項式環 R[X_{1}, …, X_{n}] はネータ環であることが知られている (ヒルベルトの基定理)。これについては、本講義で時間があれば証明することにする。

R のイデアルと一般の R 加群の間には次のような関係がある。

補題 9.2. 可換環 R に対して、 1. R 自身は R-加群である。

2. 「R の R-部分加群」は「R のイデアル」と同じである。

3. R-加群 M が一つの元 m で生成されるならば、ある R のイデアル I があって、 M は R/I と同型である。

補題 9.3. 可換ネーター環 R 上の有限生成 R 加群 M が与えられているとする。このとき、 M の R-部分加群は必ず R 上有限生成である。

系 9.1. 可換ネーター環 R 上の有限生成 R 加群 M に対して次のような R-加群の完全系列が存在する。

R^{n} →^{ϕ} R^{m} →^{ψ} M → 0 (※)

但し、一般に R-加群の完全系列

M_{1} →^{α} M_{2} →^{β} M_{3}

とは、 α, β ともに R-加群の準同型であって、

Ker(β) = Image(α)

が成り立つときにいう。従って、 (※) が完全系列であるとは、 1. ψ は全射である。

2. Ker(ψ) = Image(ϕ)

という二つのことを言っていることになる。とくに、 ψ は

M ≅ R^{m}/ϕ(R^{n})

という同型を誘導する。 ϕ は R^{n} から R^{m} への R-準同型であるから、行列の形で書ける。この行列の標準型を求めるのが、次回の課題である。 (例) R = ℤ 上の加群の準同型

ϕ : R^{4} → R^{2}

を

ϕ (\begin{matrix}p \\ q \\ r \\ s \end{matrix}) = (\begin{matrix}5 & 12 & 60 & 30 \\ 9 & 8 & 23 & 62 \end{matrix}) (\begin{matrix}p \\ q \\ r \\ s \end{matrix})

で定義する。このとき、 1. ϕ は全射である。実際、

ψ (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = B (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix}77 & −102 \\ −12 & −10 \\ 1 & 3 \\ −10 & 15 \end{matrix}) (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix})

とおくと、 ϕ ∘ ψ = (恒等写像)である。

2. Ker(ϕ) の生成元としては、例えば次のものをとることができる。

\{(\begin{matrix}12 \\ −25 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−126 \\ 10 \\ 0 \\ 17 \end{matrix})\}

実際、簡単な行列式の計算により、 B の列ベクトルに上の二つのベクトルを加えたものは R^{4} を生成することがわかる。

問題 9.1. R = ℂ[X] 上の加群の準同型

ϕ : R^{4} → R^{2}

を

ϕ (\begin{matrix}p(X) \\ q(X) \\ r(X) \\ s(X) \end{matrix}) = (\begin{matrix}X & 2X + 1 & X^{3} & X^{5} \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}p(X) \\ q(X) \\ r(X) \\ s(X) \end{matrix})

で定義する。このとき、 1. ϕ は全射であることを示しなさい。

2. Ker(ϕ) を生成するような有限集合の例をあげなさい。