代数学特論 I 要約 NO.10

今日のテーマ:

PID 上の行列のスミス標準型 (記法)

可換環 R について、次のような記号を用いる。

M_{m,n}(R) = (R の元を成分に持つ m × n-行列)
M_{n}(R) = M_{n,n}(R) (正方行列全体: 既出)
GL_{n}(R) = M_{n}(R)^{×}

定理 10.1. R は PID で、 M_{m,n}(R) の元 A が与えられているとする。このとき、 P ∈ GL_{m}(R) と Q ∈ GL_{n}(R) とをうまく与えれば、 PAQ は次のような形にできる。

P AQ = ( \begin{matrix}e_{1} & & & & & & 0 \\ & e_{2} \\ & & e_{3} & & & & & 0 \\ & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & e_{k} \\ & & 0 & & & & & 0 \end{matrix} )

( ただし, e_{1}, …, e_{k} は R の元で、 e_{1}|e_{2}|e_{3}| … |e_{k} がなりたつ。 )

この定理の証明は本質的には 2 × 2 行列の話だけで理解できる。例えば M_{2,2}(ℤ) = M_{2}(ℤ) の元

A = (\begin{matrix}30 & 42 \\ 55 & 33 \end{matrix})

で定義する。まず 30 と 42 (第 1 行) とでユークリッドの互除法 (gcd は 6) を行い、

3 · 30 − 2 · 42 = 6, 3 · (30/6) − 2 · (42/6) = 1

という式を得る (この式にあたるものは一般の PID R ではイデアルの議論から得る。 ) 二番目の式から

(\begin{matrix}3 & 7 \\ −2 & −5 \end{matrix})

は GL_{2}(ℤ) の元であることがわかる。

A (\begin{matrix}3 & 7 \\ −2 & −5 \end{matrix}) = (\begin{matrix}6 & 0 \\ 99 & 220 \end{matrix})

今度は、 6 と 99 (第 1 列) とで同様なことを行う。

(\begin{matrix}17 & −1 \\ 33 & −2 \end{matrix}) A (\begin{matrix}3 & 7 \\ −2 & −5 \end{matrix}) = (\begin{matrix}3 & −220 \\ 0 & −440 \end{matrix})

今度は再び 1 行で同様な操作を行う。 (1,1)-成分が段々“小さく” なっていくことに注意。

(\begin{matrix}17 & −1 \\ 33 & −2 \end{matrix}) A (\begin{matrix}3 & 7 \\ −2 & −5 \end{matrix}) (\begin{matrix}−73 & 220 \\ −1 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 440 & −1320 \end{matrix})

最後にもう一度第一列について同じことをする。

(\begin{matrix}1 & 0 \\ −440 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}17 & −1 \\ 33 & −2 \end{matrix}) A (\begin{matrix}3 & 7 \\ −2 & −5 \end{matrix}) (\begin{matrix}−73 & 220 \\ −1 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1320 \end{matrix})

結局、

P = (\begin{matrix}17 & −1 \\ −7447 & 438 \end{matrix}) , Q = (\begin{matrix}−226 & 681 \\ 151 & −455 \end{matrix})

と置けばよい。

うえのような計算がいつでも止まることをいうには、「PID のイデアルの増大列がいつでもどこかでとまる」という事実に注意すればよい。この事実自体は代数 I ですでに出てきているはずである。全く同じことをするのはばかばかしいので、あとあとのためも考えてこの事実の拡張である、一般のネーター環の特徴付けについての補題を証明する。

補題 10.1. 1. 可換ネーター環 R のイデアルの増大列

I_{0} ⊃ I_{1} ⊃ I_{2} ⊃ I_{3} ⊃ …

は必ずどこかで止まる。すなわち、ある N があって、そこから先は

I_{N} = I_{N+1} ⊃ I_{N+2} = I_{N+3} = …

がなりたつ。

2. 逆に、可換環 R が「R のイデアルの増大列は必ずどこかで止まる」という性質をもてば、 R はネーター環である。

問題 10.1. R = ℂ[X] とする。 R 上の行列 A を下のように決めるとき、定理 10.1 の e_{1}, e_{2}, … にあたるものをそれぞれ求めよ。 (理由付けをきちんと書いてあれば、とくに P, Q を求める必要はない。 )

1.

A_{1} = (X^{3} + X − 1 X^{2} + X + 1) ∈ M_{1,2}(R)

2.

A_{2} = (\begin{matrix}X & 0 \\ X^{5} & 1 \end{matrix}) ∈ M_{2,2}(R)

3.

A_{3} = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ X & (X + 1) & (X − 1) \\ X^{2} & (X + 1)^{2} & (X − 1)^{2} \end{matrix}) ∈ M_{3,3}(R)

(ヒント: det(A_{3}) はいくらか？ ) 4.

A_{4} = (\begin{matrix}X & X & X^{2} \\ X^{2} − X & 2X^{2} & X^{3} − X^{2} \\ X^{2} & X^{2} & X^{3} \end{matrix}) ∈ M_{3,3}(R)