代数学特論 I 要約 No.10

今日のテーマ:

(記法)

可換環 $R$ について、次のような記号を用いる。

$$M_{m,n}(R)=\text{($R$ の元を成分に持つ $m\times n$-行列)}$$

$$M_n(R)=M_{n,n}(R) \quad \text{(正方行列全体: 既出)}$$

$$GL_n(R)=M_n(R)^\times$$

定理 10.1   $R$ はPIDで、 $M_{m,n}(R)$ の元 $A$ が与えられているとする。 このとき、 $P\in {\operatorname{GL}}_{m}(R)$ と $Q\in {\operatorname{GL}}_{n}(R)$ とをうまく与えれば、 PAQ は次のような形にできる。

$$PAQ= \left( \begin{array}{c c c c c \vert c c c } e_1 & & & &... ...r1.7ex\hbox{\huge0}}}\\ & & & & & & & \\ \end{array}\right)$$

( ただし, $e_1,\dots , e_k$ は $R$ の元で、 $e_1 \vert e_2 \vert e_3 \vert\dots\vert e_k$ がなりたつ。)

この定理の証明は本質的には $2\times 2$ 行列の話だけで理解できる。

例えば $M_{2,2}({\mbox{${\Bbb Z}$ }})=M_2({\mbox{${\Bbb Z}$ }})$ の元

$$A=\begin{pmatrix} 30 & 42 \\ 55 & 33 \end{pmatrix}$$

で定義する。まず $30$ と $42$ (第1行)とでユークリッドの互除法(gcd は6)を行い、

$$3\cdot 30-2\cdot 42=6 ,\qquad 3\cdot (30/6)-2\cdot (42/6)=1$$

という式を得る(この式にあたるものは一般のPID $R$ ではイデアルの議論から得る。) 二番目の式から

$$\begin{pmatrix} 3 & 7\\ -2 & -5 \end{pmatrix}$$

は ${\operatorname{GL}}_2({\mbox{${\Bbb Z}$ }})$ の元であることがわかる。

$$A \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6 & 0\\ 99 & 220 \end{pmatrix}$$

今度は、$6$ と $99$ (第1列)とで同様なことを行う。

$$\begin{pmatrix} 17 & -1 \\ 33 & -2 \end{pmatrix}A \begin{pma... ...d{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & -220\\ 0 & -440 \end{pmatrix}$$

今度は再び1行で同様な操作を行う。 (1,1)-成分が段々``小さく''なっていくことに注意。

$$\begin{pmatrix} 17 & -1 \\ 33 & -2 \end{pmatrix}A \begin{pma... ...d{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 440 & -1320 \end{pmatrix}$$

最後にもう一度第一列について同じことをする。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -440 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatri... ...end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1320 \end{pmatrix}$$

結局、

$$P= \begin{pmatrix} 17 & -1\\ -7447 & 438 \end{pmatrix},Q= \begin{pmatrix} -226 & 681\\ 151 & - 455 \end{pmatrix}$$

と置けばよい。

うえのような計算がいつでも止まることをいうには、 「PID のイデアルの増大列がいつでもどこかでとまる」という事実に 注意すればよい。この事実自体は代数Iですでに出てきているはずである。 全く同じことをするのはばかばかしいので、 あとあとのためも考えてこの事実の拡張である、 一般のネーター環の特徴付けについての補題を証明する。

補題 10.1  

1.

可換ネーター環 $R$ のイデアルの増大列

$$I_0\supset I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \dots$$

は必ずどこかで止まる。すなわち、ある $N$ があって、そこから先は

$$I_N= I_{N+1} \supset I_{N+2}=I_{N+3}= \dots$$

がなりたつ。

2.

逆に、可換環 $R$ が「$R$ のイデアルの増大列は必ずどこかで止まる」 という性質をもてば、$R$ はネーター環である。

問題 10.1   $R={\Bbb C}[X]$ とする。$R$ 上の行列 $A$ を下のように決めるとき、 定理10.1 の $e_1,e_2,\dots$ にあたるものをそれぞれ求めよ。 (理由付けをきちんと書いてあれば、とくに $P,Q$ を求める必要はない。)

1.

$$A_1=\begin{pmatrix} X^3+X-1 & X^2+X+1 \end{pmatrix}\in M_{1,2}(R)$$

2.

$$A_2=\begin{pmatrix} X & 0 \\ X^5 & 1 \end{pmatrix}\in M_{2,2}(R)$$

3.

$$A_3=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ X & (X+1) & (X-1) \\ X^2 & (X+1)^2 & (X-1)^2 \end{pmatrix}\in M_{3,3}(R)$$

(ヒント: $\operatorname{det}(A_3)$ はいくらか？)

4.

$$A_4= \begin{pmatrix} X & X & X^2\\ X^2-X & 2 X^2 & X^3-X^2\\ X^2 & X^2 & X^3 \end{pmatrix}\in M_{3,3}(R)$$