代数学特論 I 要約 NO.11

今日のテーマ:

有限生成アーベル群の基本定理・行列のジョルダンの標準型再論

補題 11.1. PID R があたえられているとする。有限生成 R-加群は必ず

R/(e) (e ∈ R)

の形の R-加群の有限個の直和と同型である。

本講義の第一回を思い出せば、 R/(e) はさらに分解されることがわかる。 (PID は一意分解環 (UFD) であったことに注意)

定理 11.1. PID R があたえられているとする。有限生成 R-加群は必ず

R^{l} ⊕ R/(p_{1}^{n_{1}}) ⊕ R/(p_{2}^{n_{2}}) ⊕ ⋯ ⊕ R/(p_{k}^{n_{k}})

(p_{1}, … p_{k} は R の素元,l, k は非負整数, n_{1}, … n_{k} は正の整数) の形の R-加群と同型である。

系 11.1. 有限生成アーベル群はかならず

ℤ^{l} ⊕ ℤ/(p_{1}^{n_{1}}) ⊕ ℤ/(p_{2}^{n_{2}}) ⊕ ⋯ ⊕ ℤ/(p_{k}^{n_{k}})

(p_{1}, … p_{k} は素数, l, k は非負整数, n_{1}, … n_{k} は正の整数) の形のアーベル群と同型である。

定理のもう一つの系として、行列のジョルダンの標準型を取り上げよう。

補題 11.2. 可換体 k 上の行列 A ∈ M_{n}(k) が与えられているとする。このとき、

1. k^{n} は次のように k[X] 加群とみることができる。

p(X).v = p(A)v (p ∈ k[X], v ∈ k^{n})

さらに、このようにみたとき k^{n} は有限生成 k[X]-加群である。 2. 逆に, k[X] 加群 M で、 k 上有限次元であるものが与えられてい

たとすると、 M はある行列から上のように作られたものと k[X]- 加群として同型である。

3. 上の M は次のような k[X]-加群と同型である。

M ≅ k[X]/(p_{1}^{n_{1}}) ⊕ k[X]/(p_{2}^{n_{2}}) ⊕ ⋯ ⊕ k[X]/(p_{k}^{n_{k}})

(p_{1}, …, p_{k} は k 上の既約多項式。 n_{1}, …, n_{k} は正の整数)

4. M が上のように分解されているとすると、 A の最小多項式は

p_{1}^{e_{1}}, p_{2}^{e_{2}}, …, p_{k}^{e_{k}} の最大公約数と一致する。

上の補題から、すぐにジョルダンの標準型が得られるが、詳細はレポート問題に譲ろう。問題 11.1. 体 k 上の多項式

p(X) = X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + ⋯ + a_{1}X + a_{0}

がつぎの各々で与えられているとき、 M = k[X]/p(X) の k ベクトル空間としての次元を求め、

M ∋ [f] ↦ [Xf(X)] ∈ M ([f] は多項式 f の M でのクラス)

の行列表示を与えなさい。 (M の k 上の基底は好きに与えてよい) 1. p(X) = X − a (a ∈ k)

2. p(X) = (X − a)^{2} (a ∈ k)

3. p(X) = (X − a)^{n} (a ∈ k, n ∈ ℤ, n > 0)

4. p(X) = X^{4} + 2X^{3} + 3X^{2} + 4X + 5 ヒント： k[X]/p(X) の k 上の基底で一番安直なものは

{1, X, X^{2}, X^{3}, …, X^{n−1}}

である。ただし、 2,3 では

{1, (X − a), (X − a)^{2}, …, (X − a)^{n−1}}

という基底を使う方が便利だろう。