代数学特論 I 要約 No.11

今日のテーマ:

補題 11.1   PID $R$ があたえられているとする。 有限生成 $R$-加群は 必ず

$$R/(e) \qquad (e\in R)$$

の形の $R$-加群の有限個の直和と同型である。

本講義の第一回を思い出せば、$R/(e)$ はさらに分解されることがわかる。 (PID は一意分解環(UFD)であったことに注意)

定理 11.1   PID $R$ があたえられているとする。 有限生成 $R$-加群は 必ず

$$R^l\oplus R/(p_1^{n_1}) \oplus R/(p_2^{n_2})\oplus \dots \oplus R/(p_k^{n_k})$$

( $p_1,\dots p_k$ は $R$ の素元,$l,k$ は非負整数, $n_1,\dots n_k$ は正の整数) の形の $R$-加群と同型である。

系 11.1   有限生成アーベル群はかならず

$${\mbox{${\Bbb Z}$}}^l\oplus {\mbox{${\Bbb Z}$}}/(p_1^{n_1}) \... ...p_2^{n_2}) \oplus \dots \oplus {\mbox{${\Bbb Z}$}}/(p_k^{n_k})$$

( $p_1,\dots p_k$ は素数, $l,k$ は非負整数, $n_1,\dots n_k$ は正の整数) の形のアーベル群と同型である。

定理のもう一つの系として、行列のジョルダンの標準型を 取り上げよう。

補題 11.2  

可換体 $k$ 上の行列 $A\in M_n(k)$ が与えられているとする。 このとき、

1.

$k^n$ は次のように $k[X]$ 加群とみることができる。

$$p(X).v=p(A)v \qquad(p\in k[X],\ v\in k^n)$$

さらに、このようにみたとき $k^n$ は有限生成 $k[X]$-加群である。

2.

逆に, $k[X]$ 加群 $M$ で、$k$ 上有限次元であるものが与えられていたとすると、 $M$ はある行列から上のように作られたものと $k[X]$-加群として同型である。

3.

上の $M$ は次のような $k[X]$-加群と同型である。

$$M\cong k[X]/(p_1^{n_1}) \oplus k[X]/(p_2^{n_2})\oplus \dots \oplus k[X]/(p_k^{n_k})$$

( $p_1,\dots,p_k$ は $k$ 上の既約多項式。 $n_1,\dots,n_k$ は正の整数)

4.

$M$ が上のように分解されているとすると、 $A$ の最小多項式は $p_1^{e_1},p_2^{e_2},\dots , p_k^{e_k}$ の最大公約数と 一致する。

上の補題から、すぐにジョルダンの標準型が得られるが、詳細は レポート問題に譲ろう。

問題 11.1   体 $k$ 上の多項式

$$p(X)=X^n+a_{n-1} X^{n-1}+\dots + a_1 X + a_0$$

がつぎの各々で与えられているとき、 $M=k[X]/p(X)$ の $k$ ベクトル空間としての次元を求め、

$$M \ni [f]\mapsto [Xf(X)] \in M \qquad (\text{$[f]$ は多項式 $f$ の $M$ でのクラス})$$

の行列表示を与えなさい。($M$ の $k$ 上の基底は好きに与えてよい)

1.

$p(X)=X-a \qquad (a\in k)$

2.

$p(X)=(X-a)^2 \qquad (a\in k)$

3.

$p(X)=(X-a)^n \qquad (a\in k, n \in {\mbox{${\Bbb Z}$ }},n>0)$

4.

$p(X)=X^4+2X^3+3X^2+4X+5$

ヒント：$k[X]/p(X)$ の $k$ 上の基底で一番安直なものは

$$\{1,\ X,\ X^2,\ X^3,\ \dots,\ X^{n-1}\}$$

である。ただし、2,3 では

$$\{1,\ (X-a),\ (X-a)^2,\ \dots,\ (X-a)^{n-1}\}$$

という基底を使う方が便利だろう。