代数学特論 I 要約 No.13

今日のテーマ:

まず次の補題の証明が前回不十分だったので 補足しておく

補題 13.1   可換環 $A$ にたいして

$$\text{$ A$ が自明でない巾等元をもつ ${\Leftrightarrow}A/\sqrt{0_A}$ は自明でないべき等元をもつ}$$

また, $A/\sqrt{0_A}$ は $0$ 以外に巾零元をもたない。

もう一つ、補足的な補題をあげておく。

補題 13.2   $k[X]$ 加群 $M$ が $k$ 上有限生成なら、ある $f\in k[X]$ があって、 すべての $m\in M$ に対して $f.m=0$ がなりたつ。 したがって、$M$ は $k[X]/(f)$ 加群ともみなせる。

したがって $k[X]/(f)$ を直積分解することにより $M$ の構造が 単純化されるわけである。

あとはここまで述べたことのまとめといくつかの注意を箇条書にしてみる。

まとめ

1.

「有理整数環 ${\mbox{${\Bbb Z}$ }}$」、 および「体 $k$ 上の多項式環 $k[X]$」はPIDである。

2.

PID $R$ をそのイデアル $I (\neq 0)$ で割ったものは、

$$R/I \cong S_1\times S_2 \times \dots \times S_N$$

と直積分解され、それぞれの $S_i/\sqrt{0_{S_i}}$ は体になる。

3.

$R=k[X]$ のときには、上の $S_i/\sqrt{0_{S_i}}$ は $k$ の代数拡大である。

4.

逆に $k$ 上の分離的な有限次代数拡大体は 必ず $k[X]/(f)$ ($f$ は $k[X]$ の既約元)としてえられる。

5.

巾零元の存在は無視できないが、「無限小解析」的な処理で 切り抜けられるときもある。

6.

PID 上の有限生成加群の様子は単因子論によりかなり精密にわかる。

7.

とくに、有限生成アーベル群は巡回群の直和である。

8.

$k[X]$ 加群で、$k$ 上有限次元であるものに対して 同様な議論を使うことにより、行列のジョルダンの標準型を導き出すこともできる。

なお、試験はまだ具体的には考えていないが、 環の直積分解と行列のジョルダンの標準型の絡みについて出題する予定である。