代数学特論 I NO.14

試験問題

1. 持ち込みは何でも可。ただし他人の迷惑になる物は除く。

2. 計算間違いには注意すること。

問題 14.1. 一般に、可換環 R と R-加群 M とに対して\underbrace{M ⊕ M ⊕ ⋯ ⊕ M}_{n 個}

への A = (a_{ij}) ∈ M_{n}(R) の「右作用」を

(m_{1}, …, m_{n}).A = (∑_{j=1}^{n} a_{j1}.m_{j}, ∑_{j=1}^{n} a_{j2}.m_{j}, …, ∑_{j=1}^{n} a_{jn}m_{j})

で定義する。 (例えば n = 3 ならば

(u, v, w). (\begin{matrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}) = (a.u + d.v + g.w, b.u + e.v + h.w, c.u + f.v + i.w) (★)

という具合である。 ) このとき、

(((m_{1}, …, m_{n}).A).B) = (m_{1}, …, m_{n}).(AB)

が任意の m_{1}, …, m_{n} ∈ M および任意の A, B ∈ M_{n}(R) に対して成り立つことを示しなさい。

問題 14.2. R = ℚ[X], V = ℚ^{3} (ℚ 上の 3 次元縦ベクトル空間) とおき、 V に R-加群の構造を

p(X).v = p(A).v (p ∈ ℚ[X], v ∈ V)

で定義する。ただしここに、

A = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) (※)

である。

C = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ X − 1 & 1 & −1 \\ −X(X − 1)(X − 2) & −X(X − 2) & (X − 1)^{2} \end{matrix})

,

D = (\begin{matrix}0 & 1 & X − 2 \\ −1 & X − 1 & (X − 1) (X − 2) \\ 0 & X & (X − 1)^{2} \end{matrix})

とおくと、

C(XE − A)D = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (X − 1)^{2}(X − 2) \end{matrix})

がなりたつ。この状況の下で、

1. 問題 14.1 の計算式 (★) にしたがって

(e_{1}, e_{2}, e_{3}).(XE − A)

( E ∈ M_{3}(R) は単位行列) を計算しなさい。

2. C の逆行列を計算しなさい。

3. v_{1}, v_{2}, v_{3} ∈ V を (v_{1}, v_{2}, v_{3}) = (e_{1}, e_{2}, e_{3}).C^{−1} で定義する。このとき、\underline{A の具体的な形 (※) を仮定せずに}、 C の定義だけを使って e_{1}, e_{2}, e_{3} を v_{1}, v_{2}, v_{3} の R-係数の一次結合で書きあらわしなさい。

4. v_{1}, v_{2}, v_{3} を ℚ^{3} の元として実際に成分で表示しなさい。