代数学特論 I NO.14

試験解答例

問題 14.1. 一般に、可換環 R と R-加群 M とに対して\underbrace{M ⊕ M ⊕ ⋯ ⊕ M}_{n 個}

への A = (a_{ij}) ∈ M_{n}(R) の「右作用」を

(m_{1}, …, m_{n}).A = (∑_{j=1}^{n} a_{j1}.m_{j}, ∑_{j=1}^{n} a_{j2}.m_{j}, …, ∑_{j=1}^{n} a_{jn}m_{j})

で定義する。 (例えば n = 3 ならば

(u, v, w). (\begin{matrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}) = (a.u + d.v + g.w, b.u + e.v + h.w, c.u + f.v + i.w) (★)

という具合である。 ) このとき、

(((m_{1}, …, m_{n}).A).B) = (m_{1}, …, m_{n}).(AB)

が任意の m_{1}, …, m_{n} ∈ M および任意の A, B ∈ M_{n}(R) に対して成り立つことを示しなさい。

(解説): (m_{1}, m_{2}, …, m_{n}) のことを略して (m_{i}) とかく。 i が 1 から n まで動き回っているわけであるが、このような略し方は諸君は数理科学英語ゼミナールでおなじみなはずである。以下のそれぞれの式でどの変数が動き回るかにはとくに注意を要する。それでは分かりにくいと思う人は (m_{1}, m_{2}, …, m_{n}) と ... を使う書き方を貫いてもよいが、かなり繁雑になることを覚悟せねばならない。和の記号 ∑ がうまく使えること、とくにどの添字に付いて和をとっているかが大事で、この問題ではそこが一番のポイントである。 (というかそれ以外に問題はなかろう)

(答え):

A = (a_{ij}), B = (b_{kl}) とすると、

((m_{i}).A).B  ← i が 1, 2, … n を動く
=(∑_{i} a_{ij}.m_{i}).B  ← j が 1, 2, … n を動く
= (∑_{k} b_{kl}. (∑_{i} a_{ik}.m_{i}))  ← l が 1, 2, … n を動く
= (∑_{k,i} b_{kl}.(a_{ik}.m_{i}))  ← 和の順序の変更
= (∑_{i,k}(b_{kl}a_{ik}).m_{i})  ← 作用の定義
= (∑_{i,k}(a_{ik}b_{kl}).m_{i})  ← R は可換環
= (∑_{i}(AB)_{il}.m_{i})  ← 行列の積の定義
=(m_{i}).(AB)

問題 14.2. R = ℚ[X], V = ℚ^{3} (ℚ 上の 3 次元縦ベクトル空間) とおき、 V に R-加群の構造を

p(X).v = p(A).v (p ∈ ℚ[X], v ∈ V)

で定義する。ただしここに、

A = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) (※)

である。

C = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ X − 1 & 1 & −1 \\ −X(X − 1)(X − 2) & −X(X − 2) & (X − 1)^{2} \end{matrix})

,

D = (\begin{matrix}0 & 1 & X − 2 \\ −1 & X − 1 & (X − 1) (X − 2) \\ 0 & X & (X − 1)^{2} \end{matrix})

とおくと、

C(XE − A)D = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (X − 1)^{2}(X − 2) \end{matrix})

がなりたつ。この状況の下で、

1. 問題 14.1 の計算式 (★) にしたがって

(e_{1}, e_{2}, e_{3}).(XE − A)

( E ∈ M_{3}(R) は単位行列) を計算しなさい。

2. C の逆行列を計算しなさい。

3. v_{1}, v_{2}, v_{3} ∈ V を (v_{1}, v_{2}, v_{3}) = (e_{1}, e_{2}, e_{3}).C^{−1} で定義する。このとき、\underline{A の具体的な形 (※) を仮定せずに}、 C の定義だけを使って e_{1}, e_{2}, e_{3} を v_{1}, v_{2}, v_{3} の R-係数の一次結合で書きあらわしなさい。

4. v_{1}, v_{2}, v_{3} を ℚ^{3} の元として実際に成分で表示しなさい。

本問題はちょっとややこしかったかも知れない。テンソル積を避けたため、 X に二つの役割を背負わせているところがいやらしい。とくに、

X.e_{1} = (\begin{matrix}X \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) (まちがい)

式の間違いをしている者が大変多かった。これがもし行列 A に対して

Ae_{1} = (\begin{matrix}A \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) (まちがい)

としているのだったら諸君もすぐに間違いに気づいたことと思う。 ℚ^{3} を ℚ[X]-加群と見る、という最初の文章をみたときに X の ℚ^{3} への作用が気になるようになって頂きたい。 (答え):

(e_{1}, e_{2}, e_{3})(XE − A)
=(e_{1}, e_{2}, e_{3}) (\begin{matrix}X − 1 & −1 & 0 \\ 0 & X − 1 & 0 \\ 0 & 0 & X − 2 \end{matrix})
=((X − 1).e_{1}, −e_{1} + (X − 1).e_{2}, (X − 2).e_{3})

ここからが大事で、問題にあるように X の e_{1}, e_{2}, e_{3} への作用は A によるかけ算である。したがって、

((A − E)e_{1}, −e_{1} + (A − E)e_{2}, (A − 2E)e_{3})

に等しく、計算すれば、 (0, 0, 0) (–答え) を得る。

2. これは単純計算である。一番時間をとるところであるが、ここのところは正解率が高かった。答えだけ記すと

(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −X + 1 & −2X + X^{2} + 1 & 1 \\ 0 & X^{2} − 2X & 1 \end{matrix})

である。 MuPAD でやれば一発であるが、今回はコンピュータ持参の諸君はいなかったようである。

なお、諸君の解答の中で、 X が変数ではなく、 ℚ の元かのごとくあつかっている物があったが、それはそのままでは間違いである。 (正当化する方法もあるが、この問題はそのようなテクニックを使うほどのものではないし、その解答を書いた人がそのテクニックを駆使しているとは考えにくい。 )

3. この問題は簡単すぎたので諸君も答えにくかったのかも知れない。 (v_{1}, v_{2}, v_{3}) の定義式から、

(e_{1}, e_{2}, e_{3}) = (v_{1}, v_{2}, v_{3}).C

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という関係式が容易に分かり、結局

e_{1} = v_{1} + (X − 1).v_{2} − X(X − 1)(X − 2).v_{3},
e_{2} = v_{2} − X(X − 2).v_{3},
e_{3} = −v_{2} + (X − 1)^{2}.v_{3}.

ということになる。 (–答え)

4. これは 2. の結果を使う。

v_{1} = e_{1} + (−X + 1).e_{2},
v_{2} = (X − 1)^{2}.v_{2} + X(X − 2).e_{3},
v_{3} = e2 + e3.

であり、 1. と同様に計算すれば、

v_{1} = (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) ,  v_{2} = (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) ,  v_{3} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

を得る。 (–答え)