代数学 II 要約 NO.2

今日のテーマ:

イデアル前回プリントには書かなかったが、この講義ではとくに断らない限

り「環」といえば単位元を持つ可換環のことを意味する。 (なお、老婆心ながら、前回の「定義 1.1」はちゃんとした定義ではない。正確な定義は代数学 C または代数学 I の講義で学んでいるはずである。 )

定義 2.1 (復習).

1. 環 R の部分集合 I が次の 2 性質を満たす時、 I は R のイデアルであるという。

(a) I は (R, +) の部分群である。

(b) rx ∈ R (∀x ∈ I, ∀r ∈ I)

2. 環 R の部分集合 T が与えられた時、 T を含む最小のイデアルのことを T で生成される R のイデアルと呼び、 ⟨T ⟩_{ideal} であわらす。

(注意)

一般に、環 R の元 a_{1}, a_{2}, …, a_{n} が与えられているとき、 ⟨{a_{1}, a_{2}, … a_{n}}⟩_{ideal} のことを単に

(a_{1}, a_{2}, …, a_{n})

と丸括弧を使って書くことが多い。一般に数学では丸括弧に特別な意味をもたせることはあまりないが、この「... で生成されるイデアル」は例外である。数学ではよく用いられるし、楽でもあるので、本講義でもこの記号を用いることがあるが、混乱しないように十分注意すること。

補題 2.1. 体 k と正の整数 n が与えられているとする。 k^{n} の部分集合 S にたいして、 S 上で 0 になる多項式の全体

I(S) = {f ∈ k[X_{1}, X_{2}, … X_{n}]; f(x) = 0∀x ∈ S}

は k[X_{1}, X_{2}, …, X_{n}] のイデアルである。

補題 2.2. 体 k と正の整数 n が与えられているとする。 R = k[X_{1}, X_{2}, …, X_{n}] の部分集合 T に対して、 T の共通零点の集合 V (T) は T で生成された R のイデアル I = ⟨T ⟩_{ideal} の共通零点の集合 V (I) と一致する。

系 2.1. 体 k と正の整数 n が与えられているとする。 R = k[X_{1}, X_{2}, …, X_{n}] の部分集合 T_{1}, T_{2} があって、もし T_{1} で生成された R のイデアルと T_{2} で生成された R のイデアルが一致する、すなわち

⟨T_{1}⟩_{ideal} = ⟨T_{2}⟩_{ideal}

が成り立つならば、 T_{1} の共通零点の集合と T_{2} の共通零点の集合は一致する。すなわち V (T_{1}) = V (T_{2}) である。

上の理由から、 V (T) は T がイデアルのときのみを考えればじゅうぶんである。一般に、 V (I) の形の集合を代数的集合と呼ぶ。 (注意) V (I) = V (J) だからといって I = J とは限らない。

補題 2.3. 体 k と正の整数 n をきめ、 R = k[X_{1}, … X_{n}] とおく。このとき、 R のイデアルの零点集合に対して次の諸式が成り立つ。

1. V (I + J) = V (I) ∩ V (J)

2. もっと一般に

V (⟨∪_{λ}I_{λ}⟩_{ideal}) = ∩_{λ}V (I_{λ})

3. V (I ∩ J) = V (I) ∪ V (J)

4. V (R) = ∅

5. V (0) = k^{n}

系 2.2. k^{n} は、代数的集合の全体を閉集合として、位相空間をなす。この位相のことを Zariski 位相と呼ぶ。

Zariski 位相は代数幾何学で基本的な役割を果たす。この位相は (よく使われる位相のなかでは珍しく)Hausdorff 空間ではない。

問題 2.1.

1. V (Y − X^{2}, X − Y^{2}, X^{2} + Y^{2} − 2) ∈ ℝ^{2} を図示しなさい。

2. イデアルの等式 (Y − X^{2}, X − Y^{2}, X^{2} + Y^{2} − 2) = (X − 1, Y − 1) を証明しなさい。

(注意)

1. は 2. を考える上でヒントにはなるが、 2. の証明は 1. とは別に付ける必要がある。