代数学 II 要約 No.2

今日のテーマ:

前回プリントには書かなかったが、この講義ではとくに断らない限り「環」といえば 単位元を持つ可換環のことを意味する。 (なお、老婆心ながら、前回の「定義1.1」はちゃんとした定義ではない。 正確な定義は代数学C または代数学Iの講義で学んでいるはずである。)

定義 2.1 (復習)  

1.

環 $R$ の部分集合 $I$ が 次の2性質を満たす時、 $I$ は $R$ のイデアルであるという。

(a)

$I$ は $(R,+)$ の部分群である。

(b)

$rx\in R \qquad (\forall x\in I, \forall r\in I)$

2.

環 $R$ の部分集合 $T$ が与えられた時、$T$ を含む最小のイデアルのことを $T$ で生成される $R$ のイデアルと呼び、 $\langle T\rangle_{\text ideal}$ であわらす。

(注意)

一般に、環 $R$ の元 $a_1,a_2,\dots,a_n$ が与えられているとき、 $\langle\{a_1,a_2,\dots a_n\}\rangle_{\text{ideal}}$ のことを単に

$$(a_1,a_2,\dots,a_n)$$

と丸括弧を使って書くことが多い。一般に数学では丸括弧に特別な意味をもたせることは あまりないが、この「...で生成されるイデアル」は例外である。 数学ではよく用いられるし、楽でもあるので、本講義でもこの記号を用いることが あるが、混乱しないように十分注意すること。

補題 2.1   体 $k$ と正の整数 $n$ が与えられているとする。 $k^n$ の部分集合 $S$ にたいして、 $S$ 上で $0$ になる多項式の全体

$$I(S)=\{f\in k[X_1,X_2,\dots X_n]; \quad f(x)=0 \forall x \in S\}$$

は $k[X_1,X_2,\dots,X_n]$ のイデアルである。

補題 2.2   体 $k$ と正の整数 $n$ が与えられているとする。 $R=k[X_1,X_2,\dots,X_n]$ の部分集合 $T$ に対して、 $T$ の共通零点の集合 $V(T)$ は $T$ で生成された $R$ のイデアル $I=\langle T \rangle_{\text ideal}$ の共通零点の集合 $V(I)$ と一致する。

系 2.1   体 $k$ と正の整数 $n$ が与えられているとする。 $R=k[X_1,X_2,\dots,X_n]$ の部分集合 $T_1,T_2$ があって、もし $T_1$ で生成された $R$ のイデアルと $T_2$ で生成された $R$ のイデアルが 一致する、すなわち

$$\langle T_1 \rangle_{\text{ideal}} =\langle T_2 \rangle_{\text{ideal}}$$

が成り立つならば、$T_1$ の共通零点の集合と $T_2$ の共通零点の集合は 一致する。すなわち $V(T_1)=V(T_2)$ である。

上の理由から、$V(T)$ は $T$ がイデアルのときのみを考えればじゅうぶんである。 一般に、$V(I)$ の形の集合を代数的集合と呼ぶ。

(注意) $V(I)=V(J)$ だからといって $I=J$ とは限らない。

補題 2.3   体 $k$ と正の整数 $n$ をきめ、 $R=k[X_1,\dots X_n]$ とおく。 このとき、$R$ のイデアルの零点集合に対して次の諸式が成り立つ。

1.

$V(I+J)=V(I)\cap V(J)$

2.

もっと一般に

$$V(\langle \cup_\lambda I_\lambda\rangle_{\text{ideal}})= \cap_\lambda V(I_\lambda)$$

3.

$V(I\cap J)=V(I)\cup V(J)$

4.

$V(R)=\emptyset$

5.

$V(0)=k^n$

系 2.2   $k^n$ は、代数的集合の全体を閉集合として、位相空間をなす。 この位相のことを Zariski 位相と呼ぶ。

Zariski 位相は代数幾何学で基本的な役割を果たす。 この位相は(よく使われる位相のなかでは珍しく)Hausdorff 空間ではない。

問題 2.1  

1.

$V(Y-X^2, X-Y^2, X^2+Y^2-2)\in \mbox{${\Bbb R}$ }^2$ を図示しなさい。

2.

イデアルの等式 $(Y-X^2,X-Y^2,X^2+Y^2-2)=(X-1,Y-1)$ を証明しなさい。

(注意)

1. は 2. を考える上でヒントにはなるが、2.の証明は 1. とは別に 付ける必要がある。