代数学 II 要約 No.3

今日のテーマ:

前回次の補題を証明し忘れたので、再度あげておく。

補題 3.1   体 $k$ と正の整数 $n$ をきめ、 $R=k[X_1,\dots X_n]$ とおく。 このとき、$R$ のイデアルの零点集合に対して次の諸式が成り立つ。

1.

$V(I+J)=V(I)\cap V(J)$

2.

もっと一般に

$$V(\langle \cup_\lambda I_\lambda\rangle_{\text{ideal}})= \cap_\lambda V(I_\lambda)$$

3.

$V(I\cap J)=V(I)\cup V(J)$

4.

$V(R)=\emptyset$

5.

$V(0)=k^n$

次の補題は記号の意味さえ把握できていれば当り前のことを言っている。 このあたりで是非とも記号に慣れておいて頂きたい。

補題 3.2  

1.

$k[X_1,\dots,X_n]$ の任意のイデアル $I$ について、 $I(V(I))\supset I$ が成り立つ。

2.

$k^n$ の任意の部分集合 $S$ にたいして、 $V(I(S))\supset S$が成り立つ。

3.

$k^n$ の任意の代数的集合 $V$ にたいして、 $V(I(V))=V$ がなりたつ。

一般に、$k^n$ の部分集合 $S$ に対して $I(S)$ を考えても、 結局それはある代数的集合 $V$ に対するイデアルイデアル $I(V)$ と一致するので、 最初から代数的集合に対するイデアルにしぼって話をすることが多い。

補題 3.3   代数的集合 $V,W$ に対して、

1.

$I(V\cup W)=I(V)\cap I(W)$

2.

$I(\emptyset)=k[X_1,\dots,X_n]$

3.

$k$ が無限個の元を持てば、 $I(k^n)=0$

4.

$I(V\cap W)\supset I(V)+I(W)$. (等号は一般には成り立つとは限らない。)

問題 3.1   $k^n$ の代数的集合 $V,W$ で、

$$I(V\cap W)\neq I(V)+I(W)$$

となるものをあげ、その理由と、 $V,W,V\cap W$ のグラフの概形を書きなさい。 (講義時にあげた例以外のもので、できるだけ他の人とだぶらないものをあげること。)