代数学 II 要約 NO.4

今日のテーマ: イデアルの扱い方・グレブナ基底ここではイデアルの扱いについて補足しておくことにする。まずは前回やり残した補題から。

補題 4.1.

1. k[X_{1}, …, X_{n}] の任意のイデアル I について、 I(V (I)) ⊃ I が成り立つ。

2. k^{n} の任意の部分集合 S にたいして、 V (I(S)) ⊃ S が成り立つ。 3. k^{n} の任意の代数的集合 V にたいして、 V (I(V)) = V がなりたつ。

基礎知識: I は環 R のイデアルである、と言われたら、 I のなかでは加減算と、 R による作用について閉じていることが保証されている。

逆に、 I は R のイデアルであることを示せ、と言われたら、 I のなかでは加減算と、 R による作用について閉じていることを証明してやればよいわけである。

イデアルが等しいことを示すための常套手段。 ⟨a, b, c, … ⟩_{ideal} がイデアル I に含まれることを示せ、と言われたら、

a, b, c, … がそれぞれ I に含まれることを示せばよい。 (⟨a, b, c, … ⟩_{ideal} は a, b, c, … をそれぞれ含むようなイデアルのうち、最小なものだから。 )

I = J を示せ、と言われれば I ⊂ J と I ⊃ J を上の方法により示すことを考えれば大体うまく行く。

イデアルが等しくないことを示すための常套手段。「これぞ代数幾何」という方法は

I ⊂ J ⟹ V (I) ⊃ V (J)

の対偶を使う方法である。ただしこれがうまく行かないこともある。

一般にはグレブナ基底というものをつかうのがよい。そこでは「割り算」と「S 多項式」の議論がうまく使われる。 4.1. グレブナ基底. グレブナ基底の全容はこの講義の本題ではないが、その定義と簡単な応用については少しだけ述べておこう。

4.1.1. 項の辞書式順序. まず単項式の間に辞書式順序を入れる。これは、二つの単項式

aX_{1}^{i_{1}} … X_{n}^{i_{n}}, bX_{1}^{j_{1}} … X_{n}^{j_{n}}

の比較を、それぞれの指数 (i_{1}, i_{2}, …, i_{n}) (j_{1}, j_{2}, …, j_{n}) の「どちらが遅く辞書に現れることになるか」で比較するものである。例えば、

X^{2} > X^{1}Y^{2}Z^{3} > X^{1}Y Z^{3} > XZ^{5}

この順序は、巾指数を使わないで単項式を表現したものの辞書式順序とおなじである。

XX > XY ZZZ > XY ZZZ > XZZZZ

どちらでも考えやすい方で考えればいいわけだが、前者の方が数字を直接見ているぶん扱いやすいだろう。

一般に、多項式 p の先導項とは、 p に現れる項のうち辞書式順序について一番大きな項をさす。これを Head(p) と書くことにしよう。例えば、

Head(15X^{2} − 4X^{3}Y Z − 5X^{4} + 7XY^{8}Z) = −5X^{4}

である。

4.1.2. 複数の多項式による「割り算」. いま、体 k 上の多項式環 R = k[X_{1}, …, X_{n}] のイデアル I = (f_{1}, …, f_{l}) が与えられているとして、 h_{i} = Head(f_{i}) とおくことにする。

g ∈ R に対して次のような操作を考える。 (操作) g の項のうち h_{i} の倍数 mh_{i} になっているものがあったとする。このとき、

g′ = g − mf_{i}

を考える。

g と g′ との違いは、 g の mh_{i} の項がそれより小さい項の和(m(f_{i}−h_{i})) で置き換わっているところである。今度は g′ についてこの操作をおこなって g′′ を計算し、 … というぐあいにこの操作を繰り返すと有限回で

T = {p ∈ R; p に現れるどの項も、どの h_{i} でも割り切れない。 } (★)

に入る元が得られる。その結果得られた T の元を「g を f_{1}, …, f_{n} の割った余り」とよぶ。「割り算」の結果はつぎのように整理することができる。

g = ∑_{i} q_{i}f_{i} + r

ここで、 r は「余り」で、 T の元。 q_{i} は「商」にあたるもので、

Head(g) ≥ Head(q_{i}f_{i}) (∀i)

がなりたっている。上記の T は k 上のベクトル空間であり、さらに上の説明によって

R = T + I

であることがわかる。そこで R の元を上の式のように T の元と I の元に分けるのが、「割り算」の基本的な考え方である。問題はそのような分け方の一意性にある。

4.1.3. S-多項式. もう一つの有用な概念を導入しよう。

定義 4.1. f, g ∈ k[X_{1}, …, X_{n}] に対して、 f, g の S-多項式とは、 Head(f), Head(g) の最小公倍数 h をとって、

S(f, g) = (h/ Head(f))f − (h/ Head(g))g

とおいたものである。

ようは、 f, g をうまく差し引きして先導項を消すことを考えるのである。

4.1.4. グレブナ基底.

定義 4.2. R = k[X_{1}, …, X_{n}] の元の組 {f_{1}, …, f_{l}} が R のイデアル I のグレブナ基底であるとは、 I = (f_{1}, …, f_{l}) (つまり I は {f_{1}, …, f_{n}} で生成される) であって、かつ次のことが成り立つときに言う。

各 i, j に対して S-多項式 S(f_{i}, f_{j}) を f_{1}, …, f_{n} で割った余りは 0 である。 (この時点では余りは一意的かどうかわからないので、余りは「うまく割った余り」の意味である)

補題 4.2. R = k[X_{1}, …, X_{n}] の元の組 {f_{1}, …, f_{l}} が R のイデアル I のグレブナ基底であるならば、 (★) で定義される T に対して、 I ∩ T = {0} がなりたつ。すなわち、和

R = I + T

は (k 上のベクトル空間としての) 直和である。とくに、 R の任意の元を {f_{1}, …, f_{l}} で割った余りは一意に決まる。

証明のキモは、 (キモ) I ∩ T の元 f をとると、 f は (I の元だから)

f = ∑_{i} a_{i}f_{i}

と書ける。 f のこのような表現のうちで、

max_{i}(Head(a_{i}f_{i}))

が最小になるようなものをとる。

というところにある。 f が T にも属するためにはこのような表現の最高次の部分はキャンセルせざるを得ず、そこで S-多項式が登場するわけだ。 ( 「最小になるもの」の存在は少しトリッキーである。 )

この補題を見れば、グレブナ基底さえ分かれば、割り算の余りを見るだけでイデアルに入るかどうかがわかることになる。

グレブナ基底を求めるには、生成元から出発してそれらの S 多項式を割った余りをさらに付け加えて行けばよい。この操作がいつかは止まること、さらには体上の多項式環の任意のイデアルは実は有限個の元で生成されること、は、また余裕があれば述べることにする。

レポート問題は 1 または 2 を選択すること。 (1, はグレブナ基底を使わなくてもよい問題、 2. はグレブナ基底の問題である。 ) 両方選択してもよいが、評価されるのはどちらかよい方のみである。 (したがって、「分かりません」と書くだけの解答ならば二つ書いても無意味である。 )

問題 4.1. ℂ[X, Y] のイデアルに関する次の三つの関係式を示しなさい。 1. (X^{2} − Y^{2} − 3, X^{2} + Y^{2} − 5, X − Y − 3) = (X − 2, Y + 1)

2. (X^{2} − Y^{2} − 3, X^{2} + Y^{2} − 5, X − Y − 3) ⊂ (X^{2} − Y^{2} − 3, X^{2} + Y^{2} − 5, Y + 1)

3. (X^{2} − Y^{2} − 3, X^{2} + Y^{2} − 5, X − Y − 3) ≠ (X^{2} − Y^{2} − 3, X^{2} + Y^{2} − 5, Y + 1)

問題 4.2. ℂ[X, Y] のイデアル I = (X((X −3)^{2} +(Y −4)^{2} −5^{2}), X(Y − X^{3}), X^{3}Y^{4}) のグレブナ基底を求め、 XY − 2X が I の元ではないことを示しなさい。

1.,2. ともに純粋に計算問題だが、多分 V (I) の概形を書いてみる方が計算の目標がたてやすいだろう。