代数学 II 要約 NO.5

今日のテーマ:

多項式関数・座標環

補題 5.1.

1. k[X_{1}, …, X_{n}] の各元は k^{n} 上の k-値関数と見ることができる。

2. この対応によって、多項式の足し算、引き算、かけ算は各点での足し算、引き算、かけ算に対応する。

3. k の元の個数が無限個ならば p ∈ k[X_{1}, …, X_{n}] はその k^{n} での値によって完全に決定される。

補題 5.2. k^{n} の代数的部分集合 V を一つ決めておく。このとき、

1. 多項式環 k[X_{1}, …, X_{n}] の各元 p は V 上の k-値関数 p|_{V} を定める。

2. この対応によって、多項式の足し算、引き算、かけ算は各点での足し算、引き算、かけ算に対応する。

3. p|_{V} = q|_{V} ⇔ p − q ∈ I(V)

定義 5.1. k^{n} の代数的集合 V に対して、 k[X_{1}, …, X_{n}]/I(V) のことを V の座標環と呼び、 A(V) とかく。

補題により A(V) は「V 上の k-値関数全体の集合」の部分集合を与えることがわかる。 (補足)

一般に、 I(V) 以外の R = k[X_{1}, …, X_{n}] のイデアル I に対しても、 R/I が「座標環」とみなせるような幾何学的対象があると便利である。そのようなもののうち一番ポピュラーなものはアファインスキーム Spec(R/I) とよばれるもので、抽象的な代数幾何学では中心的な役割を果たす。

V の座標環は V の情報をかなり握っている。今回はそのなかの一つだけを述べよう。

補題 5.3. k^{n} の代数的集合 V が与えられているとする。もし、 A(V) が 1 以外の巾等元 e (すなわち、 e^{2} = e となる元) をもてば、 V は互いに交わらない空でない代数的集合 V_{0}, V_{1} の和集合になる。具体的には、

V_{0} = {x ∈ V; e|_{V} (x) = 0}
V_{1} = {x ∈ V; e|_{V} (x) = 1}

Zariski 位相の定義を思い起こせば、上の補題は次のように言うこともできる。

A(V) が 1 以外の巾等元を持てば、 V は (k^{n} の Zariski 位相からの誘導位相について) 連結でない。

(実際にはこの命題の対偶の方が意味がとりやすいだろう。 )

レポート問題は 5.1 または 5.2 を選択すること。両方選択してもよいが、評価されるのはどちらかよい方のみである。

問題 5.1. 次の各々の環の巾等元 (0, 1 を含む) を指定する数だけ求めなさい。 (答えは X ないし X, Y の多項式で書き表し、できるだけ次数の低いものを求めるように努力すること。また、各々の巾等元 e について、ちゃんと e^{2} = e を満たすことを示しておくこと。 0, 1 については省略してもよい。 )

1. ℝ[X]/⟨X^{3} − X⟩_{ideal} (0, 1 を含めて 8 つ)

2. ℝ[X, Y]/⟨X^{2}Y − X⟩_{ideal} (0, 1 を含めて 4 つ)

(注意) 上の問題では、諸君の注意を促すために

ℝ[X, Y]/⟨X^{2}Y − X⟩_{ideal}

という記号を用いたが、たびたび言うようにこれは

ℝ[X, Y]/(X^{2}Y − X)

と書かれることの方が多い。

問題 5.2. 1. ℂ[X, Y, Z]/(XZ − 1, X − Y, X + Y) の巾等元で、 0, 1

以外のものを二つあげよ。

2. 一般には補題 5.3 の逆は正しくない。その例をあげよ。