代数学 II 要約 No.5

今日のテーマ:

補題 5.1  

1.

$k[X_1,\dots,X_n]$ の各元は $k^n$ 上の $k$-値関数と見ることができる。

2.

この対応によって、多項式の足し算、引き算、かけ算は各点での足し算、 引き算、かけ算に対応する。

3.

$k$ の元の個数が無限個ならば $p\in k[X_1,\dots, X_n]$ はその $k^n$ での 値によって完全に決定される。

補題 5.2   $k^n$ の代数的部分集合 $V$ を一つ決めておく。このとき、

1.

多項式環 $k[X_1,\dots,X_n]$ の各元 $p$ は $V$ 上の $k$-値関数 $p\vert _V$を定める。

2.

この対応によって、多項式の足し算、引き算、かけ算は各点での足し算、 引き算、かけ算に対応する。

3.

$p\vert _V=q\vert _V \quad {\Leftrightarrow}\quad p-q\in I(V)$

定義 5.1   $k^n$ の代数的集合 $V$ に対して、 $k[X_1,\dots,X_n]/I(V)$ のことを $V$ の座標環と呼び、$A(V)$ とかく。

補題により $A(V)$ は 「$V$ 上の $k$-値関数全体の集合」の 部分集合を与えることがわかる。

(補足)

一般に、$I(V)$ 以外の $R=k[X_1,\dots,X_n]$ のイデアル $I$ に対しても、 $R/I$ が「座標環」とみなせるような幾何学的対象があると便利である。 そのようなもののうち一番ポピュラーなものはアファインスキーム $\operatorname{Spec}(R/I)$ とよばれるもので、抽象的な代数幾何学では中心的な役割を果たす。

$V$ の座標環は $V$ の情報をかなり握っている。今回はそのなかの一つだけを 述べよう。

補題 5.3   $k^n$ の代数的集合 $V$ が与えられているとする。 もし、 $A(V)$ が $1$ 以外の巾等元 $e$ (すなわち、$e^2=e$ となる元) をもてば、$V$ は互いに交わらない空でない代数的集合 $V_0,V_1$ の 和集合になる。 具体的には、

$$V_0=\{x\in V; e\vert _V(x)=0\}$$

$$V_1=\{x\in V; e\vert _V(x)=1\}$$

Zariski 位相の定義を思い起こせば、上の補題は次のように言うこともできる。

$A(V)$ が $1$ 以外の巾等元を持てば、$V$ は($k^n$ の Zariski 位相からの 誘導位相について)連結でない。

(実際にはこの命題の対偶の方が意味がとりやすいだろう。)

レポート問題は5.1または5.2を選択すること。 両方選択してもよいが、評価されるのはどちらかよい方のみである。

問題 5.1   次の各々の環の巾等元($0,1$ を含む)を指定する数だけ求めなさい。 (答えは $X$ ないし $X,Y$ の多項式で書き表し、できるだけ次数の低いものを 求めるように努力すること。 また、各々の巾等元 $e$ について、ちゃんと $e^2=e$ を満たすことを 示しておくこと。 $0,1$ については省略してもよい。)

1.

$\mbox{${\Bbb R}$ }[X]/\langle X^3-X\rangle_{\text{ideal}}$         ($0,1$ を含めて8つ)

2.

$\mbox{${\Bbb R}$ }[X,Y]/\langle X^2Y-X\rangle_{\text{ideal}}$         ($0,1$ を含めて4つ)

(注意) 上の問題では、諸君の注意を促すために

$$\mbox{${\Bbb R}$}[X,Y]/\langle X^2Y-X\rangle_{\text{ideal}}$$

という記号を用いたが、たびたび言うようにこれは

$$\mbox{${\Bbb R}$}[X,Y]/(X^2Y-X)$$

と書かれることの方が多い。

問題 5.2  

1.

${\Bbb C}[X,Y,Z]/(XZ-1,X-Y,X+Y)$ の巾等元で、$0,1$ 以外のものを二つあげよ。

2.

一般には補題5.3の逆は正しくない。 その例をあげよ。