代数学 II 要約 NO.6

今日のテーマ:

巾零元・根基イデアル/零因子・素イデアル

定義 6.1. 環 R のイデアル I があたえられているとする。 R/I が 0 以外の巾零元を持たないとき、 I は R の根基イデアルであると言う。

補題 6.1. k^{n} の任意の代数的部分集合 V に対して、その座標環 A(V) は巾零元を持たない。したがって、 I(V) は多項式環 k[X_{1}, …, X_{n}] の根基イデアルである。

定義 6.2. 環 R のイデアル I で、 R とは異なるものがあたえられているとする。 R/I が 0 以外の零因子を持たないとき、 I は R の素イデアルであると言う。

定義 6.3. k^{n} の空でない代数的部分集合 V が可約であるとは、

V = V_{1} ∪ V_{2}, V_{1} ≠ V, V_{2} ≠ V

なる代数的集合 V_{1}, V_{2} が存在するときにいう。 V が可約でないときに、 V は既約であるという。

定義 6.4. k^{n} の空でない代数的部分集合 k^{n} が与えられたとき、次のことは同値である。

1. V は既約である。

2. I(V) は R = k[X_{1}, …, X_{n}] の素イデアルである。

3. R の二つの元 f_{1}, f_{2} で、

f_{1}, f_{2} ∉ I(V) かつ f_{1}f_{2} ∈ I(V)

を満たすものが存在しない。

問題 6.1. 次の環 S の 0 でない元 f_{1}, f_{2} で、 f_{1}f_{2} = 0 となるものを求めなさい。 (答えは X, Y, Z の多項式で書き表し、できるだけ次数の低いものを求めるように努力すること。 (各々の元 f_{1}, f_{2} について、ちゃんと f_{1}f_{2} = 0 を満たすことを示しておくこと。 )

S = ℝ[X, Y, Z]/⟨X^{2} − Y^{2} − Z^{2}, Y − (\frac{1}{2} + X^{2} − Y^{2} − Z^{2})X⟩_{ideal}