代数学 II 要約 No.6

今日のテーマ:

定義 6.1   環 $R$ のイデアル $I$ があたえられているとする。$R/I$ が $0$ 以外の 巾零元を持たないとき、 $I$ は $R$ の根基イデアルであると言う。

補題 6.1   $k^n$ の任意の代数的部分集合 $V$ に対して、 その座標環 $A(V)$ は 巾零元を持たない。 したがって、$I(V)$ は多項式環 $k[X_1,\dots, X_n]$ の根基イデアルである。

定義 6.2   環 $R$ のイデアル $I$ で、$R$ とは異なるものがあたえられているとする。 $R/I$ が $0$ 以外の零因子を持たないとき、 $I$ は $R$ の素イデアルであると言う。

定義 6.3   $k^n$ の空でない代数的部分集合 $V$ が可約であるとは、

$$V=V_1\cup V_2 , \quad V_1 \neq V , V_2 \neq V$$

なる代数的集合 $V_1,V_2$ が存在するときにいう。 $V$ が可約でないときに、$V$ は既約であるという。

定義 6.4   $k^n$ の空でない代数的部分集合 $k^n$ が与えられたとき、次のことは同値である。

1.

$V$ は既約である。

2.

$I(V)$ は $R=k[X_1,\dots,X_n]$ の素イデアルである。

3.

$R$ の二つの元 $f_1,f_2$ で、

$$f_1,f_2 \notin I(V) \text{ かつ } f_1f_2\in I(V)$$

を満たすものが存在しない。

問題 6.1   次の環 $S$ の $0$ でない元 $f_1,f_2$ で、 $f_1f_2=0$ となるものを 求めなさい。 (答えは $X,Y,Z$ の多項式で書き表し、できるだけ次数の低いものを 求めるように努力すること。 (各々の元 $f_1,f_2$ について、ちゃんと $f_1f_2=0$ を満たすことを 示しておくこと。 )

$$S=\mbox{${\Bbb R}$}[X,Y,Z]/ \langle (X^2-Y^2-Z^2,Y-(\frac{1}{2}+X^2-Y^2-Z^2)X\rangle_{\text{ideal}}$$