代数学 II 要約 NO.7

今日のテーマ:

ヒルベルトの基定理

定理 7.1. 体係数の多項式環 k[X_{1}, …, X_{n}] の任意のイデアル I は有限生成である。

本講義では多項式の先導項に着目した証明をあたえよう。次の補題が重要である。

自然数の集合 ℕ に 0 を入れる立場と入れない立場があるが、この講義では一貫して ℕ = {0, 1, 2, … } と 0 を入れる立場をとる。

補題 7.1. 1. 体係数の多項式環 k[X_{1}, …, X_{n}] のイデアル I に対し

て、

L = Head(I) = {Head(p); p ∈ I}

を考えると、 L = Head(I) は ℕ^{n} の部分集合で、

L + ℕ^{n} ⊂ ℕ^{n} (★)

が成り立つ。

2. ℕ^{n} の部分集合 L で、 ( ★ ) を満たすものは必ず「有限生成」である。すなわち、ある有限個の元 l_{1}, … l_{N} ∈ L があって、

L = (l_{1} + ℕ^{n}) ∪ (l_{2} + ℕ^{n}) ∪ (l_{3} + ℕ^{n}) ∪ ⋯ ∪ (l_{N} + ℕ^{n})

が成立する。

多項式環のイデアル I が与えられたときにそこに元が属するかどうかは先導項をみながら割り算していけばよいので、上の補題からヒルベルトの基定理が成立することを示すことができるというわけである。

ヒルベルトの基定理は大事でかつ基本的な定理である。これはまたネータ環という言葉を用意してまとめておくこともできる。

補題 7.2. 環 R について次の条件は同値である。 1. R の任意のイデアルは有限生成である。

2. R のイデアルの増大列 I_{1} ⊂ I_{2} ⊂ I_{3} ⊂ … は必ずどこかで止まる。すなわち、ある N があって、 I_{N} = I_{N+1} = I_{N+2} = … がなりたつ。

定義 7.1. 上の条件のうち一つ (したがって、両方) が成り立つような環をネータ環という。

ヒルベルトの基定理は、「体上の多項式環はネータ環である」といっておるわけだ。

問題 7.1. ℝ[X, Y] のイデアルの無限減少列 I_{1} ⊃ I_{2} ⊃ I_{3} ⊃ … の例をあげなさい。