代数学 II 要約 NO.8

今日のテーマ:

復習まず前回証明を保留した部分があるのでもう一度基定理を書いてお

く。

定理 8.1. 体係数の多項式環 k[X_{1}, …, X_{n}] の任意のイデアル I は有限生成である。

本講義では多項式の先導項に着目した証明をあたえよう。次の補題が重要である。

自然数の集合 ℕ に 0 を入れる立場と入れない立場があるが、この講義では一貫して ℕ = {0, 1, 2, … } と 0 を入れる立場をとる。

補題 8.1. 1. 体係数の多項式環 k[X_{1}, …, X_{n}] のイデアル I に対し

て、

L = Head(I) = {Head(p); p ∈ I}

を考えると、 L = Head(I) は ℕ^{n} の部分集合で、

L + ℕ^{n} ⊂ ℕ^{n} (★)

が成り立つ。

2. ℕ^{n} の部分集合 L で、 ( ★ ) を満たすものは必ず「有限生成」である。すなわち、ある有限個の元 l^{(1)}, … l^{N} ∈ L があって、

L = (l^{(1)} + ℕ^{n}) ∪ (l^{(2)} + ℕ^{n}) ∪ (l^{(3)} + ℕ^{n}) ∪ ⋯ ∪ (l^{(N)} + ℕ^{n})

が成立する。

L′ = {(e_{1}, …, e_{n−1}) ∈ ℕ^{n−1}; ∃e ∈ ℕs.t., (e_{1}, …, e_{n−1}, e) ∈ L}

帰納法の仮定により L′ は有限生成であるから、ある v^{(1)}, …, v^{(K)} ∈ L があって、それらの第 1-第 (n-1) 成分までをとったものは L′ を生成する。

b = max_{i}{v_{n}^{(i)}; 1 ≤ i ≤ K}

とおき、 b 以下の各整数 a について

L_{a} = {(e_{1}, …, e_{n−1}) ∈ ℕ^{n−1}; (e_{1}, …, e_{n−1}, a) ∈ L}

を考える。 L_{a} もやはり有限生成であり、各 L_{a} の生成元と、 v^{(1)}, …, v^{(K)} のを全部併せると、それらは L を生成している。

問題 8.1.

ℂ[X, Y, Z]/(Z^{2}X^{3} − X^{3} + 4X^{2} + 4X + Z − Y^{2}, Z − 1)

の 0 と異なる元 f_{1}, f_{2} で、 f_{1}f_{2} = 0 となるものを一組求めなさい。