代数学 II 要約 No.8

今日のテーマ:

まず前回証明を保留した部分があるので もう一度基定理を書いておく。

定理 8.1   体係数の多項式環 $k[X_1,\dots,X_n]$ の任意のイデアル $I$ は有限生成である。

本講義では多項式の先導項に着目した証明をあたえよう。 次の補題が重要である。

自然数の集合 $\Bbb N$ に $0$ を入れる立場と入れない立場があるが、 この講義では一貫して $\Bbb N=\{0,1,2,\dots\}$ と $0$ を入れる立場をとる。

補題 8.1  

1.

体係数の多項式環 $k[X_1,\dots,X_n]$ のイデアル $I$ に対して、

$$L=\operatorname{Head}(I)=\{\operatorname{Head}(p); p\in I\}$$

を考えると、 $L=\operatorname{Head}(I)$ は $\Bbb N^n$ の部分集合で、

$$L+\Bbb N^n \subset \Bbb N^n \tag{★}$$

が成り立つ。

2.

$\Bbb N^n$ の部分集合 $L$ で、$($★$)$を満たすものは必ず「有限生成」 である。すなわち、ある有限個の元 $l^{(1)},\dots l^{N} \in L$ があって、

$$L= (l^{(1)}+\Bbb N^n)\cup (l^{(2)}+\Bbb N^n)\cup (l^{(3)}+\Bbb N^n)\cup \dots \cup (l^{(N)}+\Bbb N^n)$$

が成立する。

$$L'=\{(e_1,\dots,e_{n-1})\in \Bbb N^{n-1}; \quad \exists e \in \Bbb Ns.t., (e_1,\dots,e_{n-1},e)\in L \}$$

帰納法の仮定により $L'$ は有限生成であるから、 ある $v^{(1)},\dots,v^{(K)} \in L$ があって、それらの 第1-第(n-1)成分までをとったものは $L'$ を生成する。

$$b=\max_i \{v^{(i)}_n ; 1\leq i\leq K \}$$

とおき、$b$ 以下の各整数 $a$ について

$$L_a= \{(e_1,\dots,e_{n-1})\in \Bbb N^{n-1}; \quad (e_1,\dots,e_{n-1},a)\in L \}$$

を考える。$L_a$ もやはり有限生成であり、 各 $L_a$ の生成元と、 $v^{(1)},\dots, v^{(K)}$ の を全部併せると、それらは $L$ を生成している。

問題 8.1  

$${\Bbb C}[X,Y,Z]/(Z^2X^3-X^3+4X^2+4X+Z-Y^2,Z-1)$$

の $0$ と異なる元 $f_1,f_2$ で、 $f_1f_2=0$ となるものを一組求めなさい。