代数学 II 要約 No.9

今日のテーマ:

定義 9.1 (復習)   環 $R$ から環 $S$ への写像 $\phi$ が(環としての)準同型写像であるとは、 $\phi$ が次の条件を満足するときにいう。

1.

$\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)\qquad (\forall x,y\in R)$

2.

$\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)\qquad (\forall x,y\in R)$

3.

$\phi(1)=1$

$\phi$ が上の条件に加えて全単射でもあるときには $\phi$ の逆写像も 準同型写像になることが容易に分かる。このような(全単射準同型であるような) $\phi$ のことを(環としての)同型写像という。

定義 9.2 (復習)   体 $k$ を含む環 $R$ から環 $S$ への準同型 $\phi$ が $k$-準同型写像であるとは、 $\phi$ が $k$ の元を保つとき、 すなわち、

$$\phi(c)=c \qquad \forall c\in k$$

が成り立つときに言う。

(条件1 は、$\phi$ が $(R,+)$ から $(S,+)$ への加群としての 準同型写像であることを言っている。)

補題 9.1   $R,S$ は体 $k$ を含む環とする。このとき、

1.

多項式環 $k[X_1,\dots,X_n]$ から $S$ への $k$-準同型 $\phi$ は $X_1,\dots,X_n$ の行き先 $\phi(X_1),\dots,\phi(X_n)$ によって 一意に決まる。

2.

逆に、$S$ の元 $s_1,\dots,s_n$ を任意に与えたとき、

$$\phi(X_1)=s_1,\dots,\phi(X_n)=s_n$$

を満たす $k[X_1,\dots,X_n]$ から $S$ への $k$-準同型が唯一つ存在する。

3.

$R$ のイデアル $I$ が与えられたとき 「$R$ から $S$ への $k$-準同型 $\psi$ で、$\psi\vert I=0$ を満たすもの」 と 「$R/I$ から $S$ への $k$-準同型」とは一対一に対応する。

補題 9.2   代数的集合 $V \subset k^n$ と $W\subset k^m$ とが与えられたとし、 それらのアフィン環をそれぞれ $A(V)=k[X_1,\dots,X_n]/I(V)$, $A(W)=k[Y_1,\dots,Y_m]/I(W)$と書くと、

1.

$V$ の点は $A(V)$ から $k$ への $k$-準同型と一対一に対応する。

2.

$A(V)$ から $A(W)$ への $k$-準同型 $\phi$ が与えられると、 $W$ から $V$ への写像 ${}^a\phi$ が、

$${}^a\phi(y_1,\dots,y_m)= (\phi(X_1)(y_1,\dots,y_m), \phi(X_2)(y_1,\dots,y_m), \dots \phi(X_n)(y_1,\dots,y_m))$$

によって定まる。

定義 9.3  

1.

$A(V)$ から $A(W)$ への環準同型 $\phi$ によって上の補題のようにして定まる $W$ から $V$ への写像を $W$ から $V$ への射(あるいは多項式写像)と呼ぶ

2.

とくに、もし $\phi$ が同型ならば ${}^a\phi$ は全単射であり、その逆写像も 多項式写像で与えられる。このように環の同型写像から決まる $W$ から $V$ への全単射のことを代数的集合の同型射とよぶ。

例 9.1   $k=\mbox{${\Bbb R}$ }$ とし、 $V=\mbox{${\Bbb R}$ }^1$, $W=V(Y^2-X^2-X^3) \subset \mbox{${\Bbb R}$ }^2$ とおく。このとき、

1.

$A(V)=\mbox{${\Bbb R}$ }[T]$, $A(W)=\mbox{${\Bbb R}$ }[X,Y]/(Y^2-X^2-X^3)$ である。

2.

$A(W)$ での $X,Y$ のクラスをそれぞれ $[X],[Y]$ と書くことにすると、

$$[Y]^2-[X]^2-[X]^3=0$$

がなりたつ。

3.

(見方を変えれば) $W$ の上に住んでいる人にとってはその $X$ 座標と $Y$ 座標をそれぞれ表す関数には上のような関係がある。

4.

$A(W)$ から $A(V)$ への $\mbox{${\Bbb R}$ }$-準同型 $\phi$ を

$$\phi([X])=T^2-1, \phi([Y])=T(T^2-1)$$

で定義することができる。

5.

${}^a\phi$ は次のような写像である。

$${}^a\phi(t)=(t^2-1,t(t^2-1))$$

問題 9.1   $R=\mbox{${\Bbb R}$ }[X,Y]$ のイデアル $I,J$ を、$I=(Y-X^3)$, $J=(Y^2-X)$ で定義し、 $R$ の元 $p$ の $R/I,R/J$ でのクラスをそれぞれ $[p],\overline{p}$ と書くことにする。 $R/I$ から $R/J$ への写像 $\phi$ を、

$$\phi([p(X,Y)])=\overline{p(X^4,X^{12})}$$

で定義するとき、次の各問に答えなさい。

1.

$\phi([X^2+Y])$ を求めなさい。

2.

${}^a\phi(1,1)$, ${}^a\phi(4,2)$, ${}^a\phi(9,3)$ を求めなさい。

問題 9.2   $R={\Bbb C}[X,Y]/((Y-X^2)(Y-1))$ から $R$ への環としての 同型写像 $\phi$ で、

$${}^a\phi(0,0)=(0,1)$$

をみたすものを一つ見つけなさい。