代数学 II 要約 NO.10

今日のテーマ:

関数環の間の準同型と代数的集合の間の射定義 10.1. 環 R から環 S への写像 ϕ が (環としての) 準同型写像であるとは、 ϕ が次の条件を満足するときにいう。

(1) ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) (∀x, y ∈ R)

(2) ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) (∀x, y ∈ R)

(3) ϕ(1) = 1 ϕ が上の条件に加えて全単射でもあるときには ϕ の逆写像も準同型写像になることが容易に分かる。このような (全単射準同型であるような) ϕ のことを (環としての) 同型写像という。定義 10.2. 体 k を含む環 R から環 S への準同型 ϕ が k-準同型写像であるとは、 ϕ が k の元を保つとき、すなわち、

ϕ(c) = c ∀c ∈ k

が成り立つときに言う。

(条件 1 は、 ϕ が (R, +) から (S, +) への加群としての準同型写像であることを言っている。 ) 補題 10.1. R, S は体 k を含む環とする。このとき、

(1) 多項式環 k[X_{1}, …, X_{n}] から S への k-準同型 ϕ は X_{1}, …, X_{n} の行き先 ϕ(X_{1}), …, ϕ(X_{n}) によって一意に決まる。

(2) 逆に、 S の元 s_{1}, …, s_{n} を任意に与えたとき、

ϕ(X_{1}) = s_{1}, …, ϕ(X_{n}) = s_{n}

を満たす k[X_{1}, …, X_{n}] から S への k-準同型が唯一つ存在する。 (3) R のイデアル I が与えられたとき「R から S への k-準同型 ψ

で、 ψ|I = 0 を満たすもの」と「R/I から S への k-準同型」とは一対一に対応する。

補題 10.2. 代数的集合 V ⊂ k^{n} と W ⊂ k^{m} とが与えられたとし、それらのアフィン環をそれぞれ A(V) = k[X_{1}, …, X_{n}]/I(V), A(W) = k[Y_{1}, …, Y_{m}]/I(W) と書くと、

(1) V の点は A(V) から k への k-準同型と一対一に対応する。

(2) A(V) から A(W) への k-準同型 ϕ が与えられると、 W から V への写像^{a}ϕ が、

aϕ(y_{1}, …, y_{m}) = (ϕ(X_{1})(y_{1}, …, y_{m}), ϕ(X_{2})(y_{1}, …, y_{m}), … ϕ(X_{n})(y_{1}, …, y_{m}))

によって定まる。定義 10.3. (1) A(V) から A(W) への環準同型 ϕ によって上の補

題のようにして定まる W から V への写像を W から V への射 (あるいは多項式写像) と呼ぶ (2) とくに、もし ϕ が同型ならば^{a}ϕ は全単射であり、その逆写像

も多項式写像で与えられる。このように環の同型写像から決まる W から V への全単射のことを代数的集合の同型射とよぶ。

例 10.1. k = ℝ とし、 V = ℝ^{1}, W = V (Y^{2} − X^{2} − X^{3}) ⊂ ℝ^{2} とおく。このとき、

(1) A(V) = ℝ[T], A(W) = ℝ[X, Y]/(Y^{2} − X^{2} − X^{3}) である。

(2) A(W) での X, Y のクラスをそれぞれ [X], [Y] と書くことにす

ると、

[Y]^{2} − [X]^{2} − [X]^{3} = 0

がなりたつ。

(3) (見方を変えれば) W の上に住んでいる人にとってはその X 座標と Y 座標をそれぞれ表す関数には上のような関係がある。

(4) A(W) から A(V) への ℝ-準同型 ϕ を

ϕ([X]) = T^{2} − 1, ϕ([Y]) = T (T^{2} − 1)

で定義することができる。

(5) ^{a}ϕ は次のような写像である。

aϕ(t) = (t^{2} − 1, t(t^{2} − 1))

問題 10.1. R = ℝ[X, Y] から R への準同型 ϕ を、

ϕ(p(X, Y)) = p(X, Y − X^{2})

で定義するとき、次の各問に答えなさい。 (1) ^{a}ϕ による X 軸の像をグラフに書きなさい。

(2) ^{a}ϕ による Y 軸の像をグラフに書きなさい。

(3) ℝ^{2} の部分集合

S = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; x ∈ ℤory ∈ ℤ}

をグラフに書きなさい。

(4) ^{a}ϕ(S) をグラフに書きなさい。

(5) ϕ の逆写像を求めなさい。問題 10.2.

ϕ(p(X, Y)) = p(X, Y − X^{3})

について前問と同様な問題をときなさい。