代数学 II 要約 NO.11

今日のテーマ:

環の局所化定義 11.1. 環 R の元 a が与えられている時、 R[X]/(aX − 1) のことを R の a による局所化といい、 R_{a} であらわす。補題 11.1. R の元 a による局所化 S = R_{a} を考える。このとき、

(1) R から S への自然な環準同型 ϕ : R → S が存在する。

(2) ϕ(a) は S の可逆元である。

(3) S は ϕ(R) と、 ϕ(f)^{−1} とで生成される。

(4) S は上の 3 性質を満たすもののうちで最も普遍的な物である。すなわち、もし別の環 T と準同型 ψ : R → T で、うえの 4 性質 (の S, ϕ をそれぞれ T, ψ におきかえたもの) がなりつものがあたえられたとすると、 S から T への環準同型写像

ρ : S → T

で、 ψ = ρ ∘ ϕ がなりたつ物がただ一つ存在する。環 R を、その元 a で局所化する事は、簡単にいえば R に\frac{1}{a} を付け

加えていると思ってよい。 (ただし一般には ϕ は単射とは限らない。 ) 補題 11.2. 代数的集合 V ⊂ k^{n} が与えられたとし、そのアフィン環を A(V) = k[X_{1}, …, X_{n}]/I(V), と書く。 f ∈ A(V) にたいして、 k[X_{1}, …, X_{n}, Y] のイデアル J = (I(V), Y f − 1) を考えると、次の事が成り立つ。

(1) W = V (J) の点は {x ∈ V; f(x) ≠ 0} の元と一対一に対応する。 (2) I(W) = J

(3) A(W) は A(V) の f による局所化 A(V)_{f} と同型である。問題 11.1. A = ℝ[X, Y] のイデアル I = (X^{2} − Y^{2} − 1) と B = ℝ[T]_{(T^{2}−1)} とについて、環準同型 ϕ : A → B を、

ϕ(X) = \frac{1 + T^{2}}{1 − T^{2}} , ϕ(Y) = \frac{2T}{1 − T^{2}}

で定義する。このとき、 (1) V (I) を図示しなさい。

(2) ϕ(I) = 0 である事を示しなさい。

(3) 上の二つの事から、 ϕ は ℝ \ {±1} から V (I) への写像 f を定めることが分かるが、その f について、

f(0), f(±2), f(±3)

をそれぞれ求めなさい。