代数学 II 要約 No.11

今日のテーマ:

定義 11.1   環 $R$ の元 $a$ が与えられている時、 $R[X]/(aX-1)$ のことを $R$ の $a$ による局所化といい、 $R_a$ であらわす。

補題 11.1   $R$ の元 $a$ による局所化 $S=R_a$ を考える。このとき、

1.

$R$ から $S$ への自然な環準同型 $\phi :R\to S$ が存在する。

2.

$\phi(a)$ は $S$ の可逆元である。

3.

$S$ は $\phi(R)$ と、 $\phi(f)^{-1}$ とで生成される。

4.

$S$ は上の3性質を満たすもののうちで最も普遍的な物である。 すなわち、もし別の環 $T$ と 準同型 $\psi: R\to T$ で、うえの4性質 (の $S,\phi$ をそれぞれ $T,\psi$ におきかえたもの)がなりつものが あたえられたとすると、$S$ から $T$ への環準同型写像

$$\rho: S\to T$$

で、 $\psi=\rho\circ\phi$ がなりたつ物がただ一つ存在する。

環 $R$ を、その元 $a$ で局所化する事は、簡単にいえば $R$ に $\frac{1}{a}$ を 付け加えていると思ってよい。(ただし一般には $\phi$ は単射とは限らない。)

補題 11.2   代数的集合 $V \subset k^n$ が与えられたとし、 そのアフィン環を $A(V)=k[X_1,\dots,X_n]/I(V)$, と書く。 $f\in A(V)$ にたいして、 $k[X_1,\dots,X_n,Y]$ のイデアル $J=(I(V), Yf-1)$ を考えると、次の事が成り立つ。

1.

$W=V(J)$ の点は $\{x \in V; f(x)\neq 0\}$ の元と一対一に対応する。

2.

$I(W)=J$

3.

$A(W)$ は $A(V)$ の $f$ による局所化 $A(V)_f$ と同型である。

問題 11.1  

$A=\mbox{${\Bbb R}$ }[X,Y]$ のイデアル $I=(X^2-Y^2-1)$ と $B=\mbox{${\Bbb R}$ }[T]_{(T^2-1)}$ とについて、 環準同型 $\phi:A\to B$ を、

$$\phi(X)=\frac{1+T^2}{1-T^2},\quad \phi(Y)=\frac{2T}{1-T^2}$$

で定義する。このとき、

1.

$V(I)$ を図示しなさい。

2.

$\phi(I)=0$ である事を示しなさい。

3.

上の二つの事から、 $\phi$ は $\mbox{${\Bbb R}$ }\setminus\{\pm 1\}$ から $V(I)$ への写像 $f$ を定めることが分かるが、 その $f$ について、

$$f(0), f(\pm 2),f( \pm 3)$$

をそれぞれ求めなさい。