代数学 II 要約 NO.12

今日のテーマ:

多項式写像の像定義 12.1. 代数的集合 V の座標環 A(V) のイデアル I が与えられた時、

{x ∈ V; p(x) = 0 (∀p ∈ I)}

はやはり代数的集合である。これを (V = k^{n} の時と同様に、 ) V (I) とかく。補題 12.1. 代数的集合 V, W の間の多項式写像 f が与えられているとする。このとき、 f に対応する関数環の準同型写像 ( 「引き戻し」 ) ϕ の核を I とおくと、次のことが成り立つ。

(1)

I = {p ∈ A(W); p| Image(f) = 0}

(2) V (I) は Image(f) を部分集合として含む W の代数的集合のうち、最小のものである。 (Zariski 位相の言葉でいえばこれは V (I) は Image(f) の (Zariski 位相に関する) 閉包であると言ってもおなじことである。 )

これまでのところを簡単な表にまとめると、次のような具合になる。

環論代数幾何学

「モノ」の対応

多項式環 k[X_{1}, X_{2}, …, X_{n}] n 次元空間 k^{n} の座標環
体 k を含む環 R  代数的集合 V の座標環 A(V)
R のイデアル I  V の代数的部分集合 (Zariski 閉集合) F の

上で零になる関数全体

剰余環 R/I  V の代数的部分集合 F の座標環 A(F)
k-準同型 ϕ : A(W) → A(V) 代数的集合の間の多項式写像 f = ^{a}ϕ : V → W
準同型の核 Ker(ϕ)  多項式写像の像の Zariski 閉包\overline{f(V)}

「性質」の対応

R が非自明な巾零元を持つ V は二つの交わらない代数的集合和集合である
R が非自明な零因子を持つ V は可約な代数的集合

この表はかなり大まかなもので、厳密にはある程度の条件がないと左右の項目が対応しなかったり、少しずつずれる場合もある。それらの詳細についてはそれぞれの回の要約等を参照されたい。一般的には、幾何的なイメージをうまく使って問題を把握し、そのあと環論で正確な証明をつけるのがよいだろう。問題 12.1. A = ℝ[X, Y, Z] から A への環準同形写像 ϕ を

ϕ(X) = XZ, ϕ(Y) = (Y Z), ϕ(Z) = Z

で定義する。さらに、 A のイデアル I を、

I = (X^{2} + Y^{2} − 1)

で定義する。このとき、 (1) V (I) のグラフの概形を書きなさい。

(2) ψ = π ∘ ϕ : A → A/I の核を求めなさい。ただし π : A → A/I は自然な射影 (p に対してそのクラス [p] を対応させる準同型) である。

(3) ^{a}ψ の像の概形を書きなさい。問題 12.2. B = ℝ[X, Y] から B への環準同形写像 φ を

φ(X) = XY, φ(Y) = Y

で定義する。さらに、 B のイデアル J を、

J = (Y − X^{2} + 1)

で定義する。このとき、 (1) 問題 10.1 にならって^{a}φ(S) をグラフに書きなさい。ただし、

S = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; x ∈ ℤ or y ∈ ℤ}

である。

(2) V (J) のグラフの概形を書きなさい。

(3) ρ = π ∘ φ : B → B/J の核を求めなさい。ただし π : B → B/J は自然な射影 (p に対してそのクラス [p] を対応させる準同型) である。

(4) ^{a}ρ の像の概形を書きなさい。

問題 1, 2 ともに逆像のほうを計算してしまいがちなので注意。グラフとよく見比べてみるといいだろう。さらに、 MuPAD などで実際にグラフを見てみるともっとよい。 MuPAD は高知大からなら

http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi/

でダウンロードできる。