代数学 II 要約 NO.13

試験対策 [最重要]

• グラフをかくこと (イデアルに対応する代数的集合について理解していること)。

• 「生成されるイデアル」について理解していること。

• 「剰余環」について理解していること。

• 「準同型に対応する多項式写像」について理解していること。 [重要]

• 座標環の性質が対応する代数的集合の性質と結び付いていること。 (連結性、既約性など)

• 座標環の局所化。

• 代数的集合の間の多項式写像の像と、対応する座標関数環の環

準同型の核との関係。例題 13.1. A = ℝ[X, Y, Z] のイデアル I = (X^{2} + Y^{2} − Z^{2}, (1 + X^{2} + Y^{2} − Z^{2})X − Y) について、次の問いに答えなさい、

(1) V (I) の概形を書きなさい。

(2) A/I の 0 でない元 [f], [g] で、 [f][g] = 0 を満たすものを一組あげなさい。ただし f, g は A の元で、 [?] は ? の A/I でのクラスを表すものとする。

(3) 上の f, g について、

fg = a(X, Y, Z)(X^{2} + Y^{2} − Z^{2}) + b(X, Y, Z)((1 + X^{2} + Y^{2} − Z^{2})X − Y)

をみたすような a, b ∈ A を実際に求めなさい。

(4) A/I の元 [Z^{4} + 3Z^{2}] を X だけの式 p(X) のクラスとして表現しなさい。つまり、

[Z^{4} + 3Z^{2}] = [p(X)]

となる p(X) を一つ求めなさい。例題 13.2. ϕ : ℝ[X, Y, Z] → ℝ[T] を

ϕ(X) = T, ϕ(Y) = T^{2}, ϕ(Z) = T^{3}

で定義する。このとき、 (1) ker(ϕ) を求めなさい。

(2) Image(^{a}ϕ) の概形を書きなさい。

(3) ^{a}ϕ(0), ^{a}ϕ(−1), ^{a}ϕ(1), ^{a}ϕ(2) をそれぞれ求めなさい。その他、問題 11.1, 11.2 の類題なども検討しておくとよいだろう。