代数学 II 要約 No.13

[最重要]

• グラフをかくこと(イデアルに対応する代数的集合について理解していること)。
• 「生成されるイデアル」について理解していること。
• 「剰余環」について理解していること。
• 「準同型に対応する多項式写像」について理解していること。

[重要]

• 座標環の性質が対応する代数的集合の性質と結び付いていること。 (連結性、既約性など)
• 座標環の局所化。
• 代数的集合の間の多項式写像の像と、対応する座標関数環の環準同型の 核との関係。

例題 13.1   $A=\mbox{${\Bbb R}$ }[X,Y,Z]$ のイデアル $I=(X^2+Y^2-Z^2,(1+X^2+Y^2-Z^2)X-Y)$ について、次の問いに答えなさい、

1.

$V(I)$ の概形を書きなさい。

2.

$A/I$ の $0$ でない元 $[f],[g]$ で、 $[f][g]=0$ を満たすものを一組あげなさい。ただし $f,g$ は $A$ の元で、 $[?]$ は $?$ の $A/I$ でのクラスを表すものとする。

3.

上の $f,g$ について、

$$fg=a(X,Y,Z) (X^2+Y^2-Z^2)+b(X,Y,Z)((1+X^2+Y^2-Z^2)X-Y)$$

をみたすような $a,b \in A$ を実際に求めなさい。

4.

$A/I$ の元 $[Z^4+3Z^2]$ を $X$ だけの式 $p(X)$ のクラスとして表現しなさい。つまり、

$$[Z^4+3Z^2]=[p(X)]$$

となる $p(X)$ を一つ求めなさい。

例題 13.2   $\phi: \mbox{${\Bbb R}$ }[X,Y,Z]\to \mbox{${\Bbb R}$ }[T]$ を

$$\phi(X)=T, \quad \phi(Y)=T^2, \quad \phi(Z)=T^3$$

で定義する。このとき、

1.

$\ker(\phi)$ を求めなさい。

2.

$\operatorname{Image}({}^a\phi)$ の概形を書きなさい。

3.

${}^a\phi(0)$, ${}^a\phi(-1)$, ${}^a\phi(1)$, ${}^a\phi(2)$ をそれぞれ求めなさい。

その他、問題11.1, 11.2 の類題なども検討しておくとよいだろう。