代数学特論 II 要約 NO.1

本講義の目的体の理論の基本を、代数幾何的な見地から概説する。代数学 II にお

いては厳密性は少々落しても幾何学的直観が身につくことを旨としていたが、こんどは少々細かいところまで注意したい。

今日のテーマ:

写像 z → z^{2}.

複素数体 ℂ からそれ自身への写像 f : z ↦ z^{2} を考えよう。前期の代数学 II でやったように、この写像には環準同型

ϕ : ℂ[X] → ℂ[X] : ϕ(f(X)) = f(X^{2})

が対応している。 (f = ^{a}ϕ). 本講義では、この環準同型を体 ℂ(X) からそれ自身への準同型に拡張してその性質を見たいのであるが、その前に f の性質についていくつか注意しておきたい。補題 1.1. (1) f は原点を原点に写す。

(2) 原点以外では、 f は 2:1 の写像である。

(3) どんな連続写像 g : ℂ → ℂ を持ってきても、 f ∘ g = id を満たすことは不可能である。

この補題の最後の主張は、 z の平方根をとるということが意外に難しい操作であることを示している。

平方根、あるいはもっと一般に方程式の根、を詳しく調べるための理論がいわゆるガロア理論である。この講義でその全容を明らかにすることはできないが、いくつかの点については解説する予定である。問題 1.1. z ↦ z^{3} なる複素平面 ℂ からそれ自身への写像を、どの点がどのように移るかに注意しながら図示せよ。 (講義を受けたものは講義の z ↦ z^{2} の図示を参考にすること。不幸にして１回目の講義を欠席した場合には自分なりに工夫してみること。 )