代数学特論 II 要約 NO.2

今日のテーマ:

環の準同型と体の準同型定義 2.1 (環に元を付け加えてできる\underline{環}). 環 R と、その部分環 S, および R の元 x_{1}, …, x_{n} が与えられているとする。このとき、 S と x_{1}, …, x_{n} とを含む R の部分環のうち最小のものをS[x_{1}, …, x_{n}] (\underline{角括弧に注意}) と書き、 S に x_{1}, … x_{n} を付け加えてできる環と呼ぶ。

一般に、体 K と、その部分体 k, および K の元 x_{1}, …, x_{n} が与えられていたとしても、 k[x_{1}, …, x_{n}] は体とは限らない。定義 2.2 (体に元を付け加えてできる\underline{体}). 体 K と、その部分体 k, および K の元 x_{1}, …, x_{n} が与えられているとする。このとき、 k と x_{1}, …, x_{n} とを含む K の部分体のうち最小のものをk(x_{1}, …, x_{n}) (\underline{丸括弧に注意}) と書き、 k に x_{1}, …, x_{n} を付け加えてできる体と呼ぶ。

上の二つの定義では、すでに存在する x_{1}, …, x_{n} を付け加えることを考えているが、「変数」 X_{1}, …, X_{n} を付け加えたものもそれに準じて定義される。すなわち、

• 環 S に対して、 S[X_{1}, …, X_{n}] (\underline{角括弧}) は S を係数にもつ n 変数の多項式環であり、

• 体 k に対して、 k(X_{1}, …, X_{n}) (\underline{丸括弧}) は k を係数にもつ n 変

数の有理関数体である。 ◆角括弧と丸括弧の使い分けは次のように覚えておくと良い。

環を作る→角括弧

体を作る→丸括弧

ℂ[X] と ℂ(X) との違いがわかることが大事である。補題 2.1. 整域 R が与えられている時、形式的な「分数」の全体

S = {a/b; a, b ∈ R; b ≠ 0}

の全体に同値関係を

a_{1}/b_{1} ∼ a_{2}/b_{2} ⇔ a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1} = 0

でいれると、商集合 S/ ∼ はおなじみの算法 a/b ± c/d = (ad ± cb)/(bd), (a/b) · (c/d) = ac/bd

2 代数学特論 II 要約 NO.2

によって体になる。定義 2.3. 上の S/ ∼ のことを Q(R) と書き、 R の全商体と呼ぶ。補題 2.2. 整域 R から整域 S への準同型 ϕ が与えられているとする。このとき、

(1) ϕ が単射ならば、 Q(R) から Q(S) の準同型写像に拡張される。 (2) 逆に、 ϕ が Q(R) から Q(S) の準同形写像に拡張されるなら

ば、 ϕ は単射である。補題 2.3. 整域 R は体 k 上環として有限生成であるとする。すなわち、ある x_{1}, …, x_{n} という R の有限個の元があって、 R = k[x_{1}, …, x_{n}] が成り立っているとする。さらに、 k 上の整域 S と、 Q(R) から Q(S) への k-準同型写像 ψ が与えられているとする。このとき、ある S の元 f と環準同形写像

ϕ_{0} : R → S_{f}

であって、 ψ が ϕ_{0} の拡張になっているものが存在する。問題 2.1. ℂ(X, Y) から ℂ(X, Y) への準同形写像 ψ が、

ψ(p) = p(X, X/Y)

で与えられているとする。 (ψ が体の準同型であることは全く自明というわけでもないが、ここではそれは認めておくことにする。 ) このとき、補題 2.3 にあるような f と ϕ を求めよ。問題 2.2. ℂ(X, Y) から ℂ(X, Y) への準同形写像 ψ を、

ψ(p) = p(X, 1/X)

で与えることはできない。これはなぜか答えなさい。