代数学特論 II 要約 No.2

今日のテーマ:

定義 2.1 (環に元を付け加えてできる環)   環 $R$ と、その部分環 $S$, および $R$ の元 $x_1,\dots,x_n$ が 与えられているとする。 このとき、$S$ と $x_1,\dots,x_n$ とを含む $R$ の部分環のうち最小のものを $S[x_1,\dots,x_n]$ (角括弧に注意) と書き、$S$ に $x_1,\dots x_n$ を付け加えてできる環と呼ぶ。

一般に、体 $K$ と、その部分体 $k$, および $K$ の元 $x_1,\dots,x_n$ が 与えられていたとしても、 $k[x_1,\dots,x_n]$ は体とは限らない。

定義 2.2 (体に元を付け加えてできる体)   体 $K$ と、その部分体 $k$, および $K$ の元 $x_1,\dots,x_n$ が 与えられているとする。 このとき、$k$ と $x_1,\dots,x_n$ とを含む $K$ の部分体のうち最小のものを $k(x_1,\dots,x_n)$ (丸括弧に注意) と書き、$k$ に $x_1,\dots,x_n$ を付け加えてできる体と呼ぶ。

上の二つの定義では、すでに存在する $x_1,\dots,x_n$ を 付け加えることを考えているが、 「変数」 $X_1,\dots,X_n$ を付け加えたものもそれに準じて定義される。すなわち、

• 環 $S$ に対して、 $S[X_1,\dots,X_n]$ (角括弧)は $S$ を係数にもつ $n$ 変数の多項式環であり、
• 体 $k$ に対して、 $k(X_1,\dots,X_n)$ (丸括弧)は $k$ を係数にもつ $n$ 変数の有理関数体である。

◆ 角括弧と丸括弧の使い分けは次のように覚えておくと良い。

環を作る→角括弧

体を作る→丸括弧

${\Bbb C}[X]$ と ${\Bbb C}(X)$ との違いがわかることが大事である。

補題 2.1   整域 $R$ が与えられている時、形式的な「分数」の全体

$$S=\{ a/b; a,b \in R; b \neq 0\}$$

の全体に同値関係を

$$a_1/b_1 \sim a_2 /b_2 \ {\Leftrightarrow}\ a_1 b_2 -a_2 b_1=0$$

でいれると、商集合 $S/\sim$ はおなじみの算法

$$a/b \pm c/d= (ad \pm cb)/(bd), \quad (a/b)\cdot (c/d)=ac/bd$$

によって体になる。

定義 2.3   上の $S/\sim$ のことを $Q(R)$ と書き、$R$ の全商体と呼ぶ。

補題 2.2   整域 $R$ から 整域 $S$ への準同型 $\phi$ が与えられているとする。このとき、

1.

$\phi$ が単射ならば、 $Q(R)$ から $Q(S)$ の準同型写像に拡張される。

2.

逆に、 $\phi$ が $Q(R)$ から $Q(S)$ の準同形写像に拡張されるならば、 $\phi$ は単射である。

補題 2.3   整域 $R$ は体 $k$ 上環として有限生成であるとする。 すなわち、ある $x_1,\dots,x_n$ という $R$ の有限個の元があって、 $R=k[x_1,\dots,x_n]$ が成り立っているとする。 さらに、 $k$ 上の整域 $S$ と、$Q(R)$ から $Q(S)$ への $k$-準同型写像 $\psi$ が与えられているとする。 このとき、ある $S$ の元 $f$ と環準同形写像

$$\phi_0: R \to S_f$$

であって、$\psi$ が $\phi_0$ の拡張になっているものが存在する。

問題 2.1   ${\Bbb C}(X,Y)$ から ${\Bbb C}(X,Y)$ への準同形写像 $\psi$ が、

$$\psi(p)=p(X,X/Y)$$

で与えられているとする。($\psi$ が体の準同型であることは 全く自明というわけでもないが、ここではそれは認めておくことにする。) このとき、補題2.3にあるような $f$ と $\phi$ を求めよ。

問題 2.2   ${\Bbb C}(X,Y)$ から ${\Bbb C}(X,Y)$ への準同形写像 $\psi$ を、

$$\psi(p)=p(X,1/X)$$

で与えることはできない。これはなぜか答えなさい。