next up previous
Next: About this document ...

    

��������� II ���� No.4

�����Υơ���:

\fbox{�Τγ��缡��}

��� 4.1   �� $K$ �γ����� $L$ ���Ф��ơ�$L$ �� $K$-�٥��ȥ���֤Ȥ��Ƥ� ���� $\dim_K L$ �Τ��Ȥ� $L$ �� $K$ ��� ���缡���ȸƤӡ�$[L:K]$ �ǽ�ɽ���� $[L:K]<\infty$ �ΤȤ���$L$ �� $K$ �� ͭ�¼��������ȸƤФ�롣

��  
1.
$[\mbox{${\Bbb Q}$ }(\sqrt{2}):\mbox{${\Bbb Q}$ }]=2$.
2.
$[\mbox{${\Bbb Q}$ }(X):\mbox{${\Bbb Q}$ }(X^2)]=2$.
3.
$[{\Bbb C}(X):{\Bbb C}(X^3)]=3$.
4.
$[{\Bbb C}:\mbox{${\Bbb R}$ }]=2$.
5.
$[\mbox{${\Bbb R}$ }:\mbox{${\Bbb Q}$ }]=\infty$.

���� 4.1  
�� $K$ ��ͭ�¼���������� $L$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��� $L$ ��Ǥ�դθ� $a$ �� $K$ �����Ū�Ǥ��롣���ʤ���� $K$ ��Τ���1�ѿ�¿�༰ $f(\neq 0)$ �����äơ�$f(a)=0$ ��ߤ����� ����ˡ����Τ褦�� $f$ �Ȥ��ƺ��㼡���Τ�� $f_0$ ��Ȥ�ȡ�$f_0$ �ϴ���ǡ�

\begin{displaymath}\{h\in K[X]; h(a)=0\} \end{displaymath}

�� $f_0 K[X]$ �Ȱ��פ��롣

��� 4.2   ��� $f_0$ �Τ��Ȥ� $a$ �� $K$ ��κǾ�¿�༰�ȸƤ֡�

���λ��¤Ϥ��ιֵ�����Ū�Τ���ˤ�ɬ�ܤ��μ��Ȥ����櫓�ǤϤʤ����� �ä����䤹���ʤ�ΤǻȤ����Ȥˤ��롣

���� 4.1 (``����ؤδ�������'')   ʣ�ǿ��� ${\Bbb C}$ �����Ū���ΤǤ��롣���ʤ����${\Bbb C}$ ���Ǥ�դΣ��ѿ�¿�༰ (��������������)��ɬ�� ${\Bbb C}$ �Τʤ��˺�����ġ�

������ʣ�Dz��ϳؤ��ΤäƤ���ʤ�к����ͤθ�����Ȥ��Τ���äȤ�����Ǥ�������

�� 4.1   ʣ�ǿ��ξ��1�ѿ� $d$-��������

\begin{displaymath}f(X)=a_d X^d +a_{d-1}X^{d-1}+\dots +a_1 X+a_0 \end{displaymath}

��,ɬ�� $d$ �Ĥκ�����ġ����ʤ����

\begin{displaymath}f(X)=a_d(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)\dots(X-\alpha_d) \end{displaymath}

�Ȱ���ʬ��Ǥ��롣

���� 4.2   ��������Ū���� $V\in {\Bbb A}^n({\Bbb C})$ �����äơ� $V$ �δؿ��� $K={\Bbb C}(V)$ ��ñ����� $L=K(a)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ޡ�$a$ �� $K$ �����Ū�Ȥ���ȡ����ΤȤ���
1.
�Τγ��缡�� $[L:K]$ �� $a$ �κǾ�¿�༰�μ��� $d$ ����������
2.
$V\times A^1$ �����Ū��ʬ���� $W$ �����äơ�$K\to L$ �� �ͱ� $V\times {\Bbb A}^1\to V$ �� $W$ �ؤ����� $f$ ���� ��ޤ�ؿ��Τμ�����Ʊ��뤵��롣(����)
3.
���� $f$ �ϡ֤ۤȤ�ɤξ��ǡ� $d:1$ �Ǥ��롣 ���ʤ����$V$ �����Ū����ʬ���� $V_s$ �����äơ�$V_s$ ���������ʬ�Ǥ� $f$ �� $d:1$ �μ����Ǥ��롣

���� 4.1   $L={\Bbb C}(X,Y)\subset K={\Bbb C}(X+Y,XY)$ �Ȥ����Ȥ��� $L$ �� $K$ ��γ��缡�� $d$ ���Ȥᡢ�����

\begin{displaymath}{\Bbb C}[A,B]\ni f \mapsto f(X+Y,XY) \in {\Bbb C}[X,Y] \end{displaymath}

�ʤ��Ʊ������ $\phi$ ������������¿�༰���� $\Phi={}^a \phi:{\Bbb A}^2({\Bbb C})\to {\Bbb A}^2({\Bbb C})$ ��ͤ��ơ� ${\Bbb A}^2({\Bbb C})$ �����Ū����ʬ���� $F$ �ǡ� $\Phi$ �� $U={\Bbb A}^2\setminus F$ �ؤ����� $\Phi\vert _U$ �� $d:1$ �Ȥʤ�褦�� ��Τ��ĸ��Ĥ��ʤ�����



2001-10-31