代数学特論 II 要約 NO.5

今日のテーマ:

体の拡大次数 II 前回、次の補題が残ってしまっていた。

補題 5.1. 既約な代数的集合 V ∈ 𝔸^{n}(ℂ) があって、 V の関数体 K = ℂ(V) の単純拡大 L = K(a) が与えられているとする。いま、 a は K 上代数的とすると、このとき、

(1) 体の拡大次数 [L : K] は a の最小多項式の次数 d と等しい。

(2) V × A^{1} の代数的部分集合 W があって、 K → L は射影 V × 𝔸^{1} → V の W への制限 f から定まる関数体の写像と同一視される。 (既出)

(3) 写像 f は「ほとんどの場所で」 d : 1 である。すなわち、 V の代数的真部分集合 V_{s} があって、 V_{s} を除いた部分では f は d : 1 の写像である。

例 . K = ℂ(X^{2}) ⊂ ℂ(X) = L とおくと、 L は K の 2 次拡大体である。この拡大に対応する代数的集合の間の写像 (の一つ) は

𝔸^{1}(ℂ) ∋ z ↦ z^{2} ∈ 𝔸^{1}(ℂ)

である。この写像は第一回に説明したように、原点を除いて 2 : 1 の写像である。例 . K = ℂ(X^{3}) ⊂ ℂ(X) = L とおくと、 L は K の 3 次拡大体である。この拡大に対応する代数的集合の間の写像 (の一つ) は

𝔸^{1}(ℂ) ∋ z ↦ z^{3} ∈ 𝔸^{1}(ℂ)

である。この写像は原点を除いて 3 : 1 の写像である。例 . K = ℂ(A, X) の拡大体 L を L = K[Y]/(Y^{2} − X^{3} − A) で定義する。 L は K の 2 次拡大体である。この拡大に対応する代数的集合の間の写像 (の一つ) は

(𝔸^{3}(ℂ) ⊂)V (Y^{2} − X^{3} − A) ∋ (x, y, a) ↦ (x, a) ∈ 𝔸^{2}(ℂ) である。この写像は曲線 V (X^{3} − A) を除いて 2 : 1 の写像である。問題 5.1. 上の例に習って、体の有限次拡大の例を作り、その拡大次数を求めなさい。