代数学特論 II 要約 No.5

今日のテーマ:

前回、次の補題が残ってしまっていた。

補題 5.1   既約な代数的集合 $V\in {\Bbb A}^n({\Bbb C})$ があって、 $V$ の関数体 $K={\Bbb C}(V)$ の単純拡大 $L=K(a)$ が与えられているとする。 いま、$a$ は $K$ 上代数的とすると、このとき、

1.

体の拡大次数 $[L:K]$ は $a$ の最小多項式の次数 $d$ と等しい。

2.

$V\times A^1$ の代数的部分集合 $W$ があって、$K\to L$ は 射影 $V\times {\Bbb A}^1\to V$ の $W$ への制限 $f$ から 定まる関数体の写像と同一視される。(既出)

3.

写像 $f$ は「ほとんどの場所で」 $d:1$ である。 すなわち、$V$ の代数的真部分集合 $V_s$ があって、$V_s$ を除いた部分では $f$ は $d:1$ の写像である。

例   $K={\Bbb C}(X^2) \subset {\Bbb C}(X)=L$ とおくと、 $L$ は $K$ の $2$ 次拡大体である。 この拡大に対応する代数的集合の間の写像(の一つ)は

$${\Bbb A}^1({\Bbb C}) \ni z \mapsto z^2 \in {\Bbb A}^1({\Bbb C})$$

である。 この写像は第一回に説明したように、原点を除いて $2:1$ の写像である。

例   $K={\Bbb C}(X^3) \subset {\Bbb C}(X)=L$ とおくと、 $L$ は $K$ の $3$ 次拡大体である。 この拡大に対応する代数的集合の間の写像(の一つ)は

$${\Bbb A}^1({\Bbb C}) \ni z \mapsto z^3 \in {\Bbb A}^1({\Bbb C})$$

である。 この写像は原点を除いて $3:1$ の写像である。

例   $K={\Bbb C}(A,X)$ の拡大体 $L$ を $L=K[Y]/(Y^2-X^3-A)$ で定義する。 $L$ は $K$ の $2$ 次拡大体である。 この拡大に対応する代数的集合の間の写像(の一つ)は

$$({\Bbb A}^3({\Bbb C}) \subset) V(Y^2-X^3-A) \ni(x,y,a) \mapsto (x,a) \in {\Bbb A}^2({\Bbb C})$$

である。 この写像は曲線 $V(X^3-A)$ を除いて $2:1$ の写像である。

問題 5.1   上の例に習って、体の有限次拡大の例を作り、その拡大次数を 求めなさい。