代数学特論 II 要約 NO.6

今日のテーマ:

標数 0 の体の有限次代数拡大は単純拡大である体 K が与えられているとき、正の整数 n に対して K のなかで K

の単位元 1_{K} の n 個の和

n_{K} = (1_{K} + ⋯ + 1_{K}) (n 個の和)

を考える。 n_{K} は誤解の恐れのない時には単に n と書かれる。注意すべきなのは、整数として n ≠ 0 でも n_{K} ≠ 0 とは限らないことである。定義 6.1. K に対して、 n_{K} = 0 となる最小の正の整数が存在すれば、それを char K と書き、体 K の標数と呼ぶ。そのような整数が存在しない場合には char K = 0 と定義する。例 . 素数 p に対して、 ℤ/pℤ は体であり、その標数は p である。 ℚ, ℝ, ℂ など、 ℚ を部分体として含む体は標数 0 である。補題 6.1. 体の標数は必ず素数かまたは 0 である。

つぎの補題は標数 0 の有限次代数拡大に対しては必ず前回、前々回述べたような扱いが可能であることを示している。補題 6.2. 体 K の標数が 0 ならば、 K の任意の有限次代数拡大 L は単純拡大である。

次の補題は扱っている体に関係なく成り立つが、 ℂ 上の代数多様体の関数体の場合には幾何学的に理解できる。補題 6.3. K ⊂ M ⊂ L を満たす三つの体 K, M, L が与えられているとき、等式

[L : K] = [L : M][M : K]

がなりたつ。問題 6.1. L = ℂ(X, Y, Z), K = ℂ(X + Y + Z, XY + Y Z + ZX, XY Z) とする。このとき、

(1) X の K 上の最小多項式を求めなさい。

(2) M = K(X) とおくとき、 [L : M], [M : K] をそれぞれ求めな

さい。問題 6.2. 上の問題で、 L = K(X + cY) となるような c ∈ ℂ の例を (補題 6.2 の証明を参考に) 一つあげなさい。