代数学特論 II 要約 NO.8

今日のテーマ:

復習まずはレポート問題の解答について。問題 6.1 L = ℂ(X, Y, Z), K = ℂ(X + Y + Z, XY + Y Z + ZX, XY Z) とする。

このとき、 1. X の K 上の最小多項式を求めなさい。

2. M = K(X) とおくとき、 [L : M], [M : K] をそれぞれ求めなさい。

まず、 2. で [L : M] や [M : K] の定義が分かっていないようであった。 [L : M] の定義は L の M-ベクトル空間としての次元であって、それは自然数である。まずこれを理解していただきたい。例 . ℚ[\sqrt{2}] は ℚ 上 2 次元である。実際、

ℚ[\sqrt{2}] = ℚ + ℚ\sqrt{2}

その他の例については No.4 の要約を参照して欲しい。

つぎに、最小多項式と拡大次数のカラミであるが、これは No.3 にある。簡単に言ってしまえば、

体 K に K 上代数的な元 x を追加して L = K(x) を作ったとする。もし x の K 上の最小多項式の次数が d であるなら、 [L : K] = d である。

ということになる。さらに、実はこのとき L = K[x] でもある。すなわち、 K 上 x で生成される環は実は自動的に体になるのだ。これには x が K 上代数的であることが効いている。

問題 6.2

上の問題 6.1 で、 L = K(X + cY) となるような c ∈ ℂ の例を (補題 6.2 の証明を参考に) 一つあげなさい。

ここで面白いのは c = 1 と c = 0 はうまくいかない、というところだろう。じつはそれ以外ならば大抵うまくいくのだ。問題にあるように補題 6.2 の証明を参考にしてももちろん良いわけだが、このような c を直接見つけることもできる。キーになるのは次のことである。 (対称性をうまく利用する。 )

2 代数学特論 II 要約 NO.8

X + cY が f(T) ∈ K[T] の解ならば、 X + cZ,Y + cZ,Z + cY,Y + cX,Z + cX もそうである。問題 8.1. L = ℂ(X, Y, Z, W) とし、

K = ((X, Y, Z, W) の対称式であるような ℂ 係数有理式全体 ) とする。このとき、 L と K との中間体 (K を含むような L の部分体の例を一つあげ、その K 上の拡大次数を求めなさい。