代数学特論 II 要約 NO.9

今日のテーマ:

体の二次拡大・三次拡大補題 9.1. p, q は複素数で、 f = X^{3} + pX + q の判別式は 0 でないとする。このとき、 ℂ[X, Y]/(Y^{2} − X^{3} − pX − q) の商体を k とすると、 ℂ(X), ℂ(Y) はともに K の部分体と見ることができて、 [K : ℂ(X)] = 2, [K : ℂ(Y)] = 3 がなりたつ。

判別式の定義は以下に述べる。定義 9.1.

(X − α_{1}) … (X − α_{n})

を X について展開して得られる多項式の係数のことを α_{1}, …, α_{n} の基本対称式という。補題 9.2. α_{1}, …, α_{n} の対称式であるような多項式は必ず α_{1}, …, α_{n} の基本対称式の多項式として表される。補題 9.3. 体 K 上の n 次多項式 f(X) に対して、 f の根を α_{1}, …, α_{n} とし、

Δ = ∏_{i<j}(α_{i} − α_{j})

とおくと、 D = Δ^{2} は k の元である。この D のことを f の判別式と言う。

明らかに、 f の判別式が 0 になることと f が重根を持つことは同値である。問題 9.1. f = X^{3} + pX + q の判別式を具体的に p, q の多項式で表しなさい。