代数学特論 II 要約 NO.10

今日のテーマ:

変数の置換について対称な式今回は k は無限個の元を持つ体とする。 (これには例えば体 k が ℚ を部分体に含めば十分) 補題 10.1. 体 k 上の n-変数多項式環 k[X_{1}, …, X_{n}] の商体 (n-変数有理関数体) L = k(X_{1}, …, X_{n}) には n-個の元の対称群 𝔖_{n} が作用している。すなわち、任意の σ ∈ 𝔖_{n} に対して、 L の元 f の σ による変換 f^{σ} が、

f^{σ}(X_{1}, …, X_{n}) = f(X_{σ1}, …, X_{σn})

によって定義されて、任意の f, g ∈ L および任意の σ, τ ∈ 𝔖_{n} に対して、

(1) (f + g)^{σ} = f^{σ} + g^{σ}

(2) (fg)^{σ} = f^{σ}g^{σ}

(3) f^{στ} = (f^{σ})^{τ} をみたす。

補題にするといかめしいが、要するに変数の置換を行っているだけである。たとえば、 σ = (1 2 3) ∈ 𝔖_{3} と有理式 f ∈ k(X_{1}, X_{2}, X_{3}) に対して、

f^{σ}(X_{1}, X_{2}, X_{3}) = f(X_{2}, X_{3}, X_{1})

(もっと具体的には (X_{1} + X_{2}^{3} + X_{3}X_{1})^{σ} = (X_{2} + X_{3}^{3} + X_{1}X_{2}) ) 等々. 定義 10.1. 上の補題の記号の元で、 𝔖_{n} の部分群 H に対して、 L^{H} を

L^{H} = {f ∈ L; f^{σ} = f (∀σ ∈ H)}

で定義する。

例えば K = L^{𝔖_{n}} は k 上の n-変数有理式のうち、対称式の全体を集めたものである。定理 10.1. 上の記号の元で、 𝔖_{n} の任意の部分群 H にたいして、

(1) 𝔖_{n} の任意の部分群 H にたいして、 L^{H} は L の部分体である。 (2) H_{1}, H_{2} がともに 𝔖_{n} の部分群で H_{1} ⊂ H_{2} ならば L^{H_{1}} ⊃ L^{H_{2}}

がなりたつ。

(3) [L : L^{H}] = |H|.

(4) 実は L の部分体で K を含むもの (L と K の中間体) は L^{H} の形のものに限る。

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定理 10.1 の証明には次の補題を使えばよい。補題 10.2. L, K は上の通りとする。 H は 𝔖_{n} の部分群とし、以下では M = L^{H} と書くことにする。いま、 α ∈ L を L = K(α) なるように選び、

F (T) = ∏_{σ∈H}(T − α^{σ})

とおく。このとき、 (1) F (α) = 0.

(2) deg(F) = |H|.

(3) F ∈ M[T]. すなわち F の T の多項式としての係数はすべて M の元である。

(4) L = M(α).

(5) 任意の σ ∈ H にたいして、 α^{σ} は M 上 α と共役である。すなわち α の M 上の最小多項式は α^{σ} の M 上の最小多項式と一致する。

上の補題の条件を満たすような α の存在は既に示してあるが、例えば、補題 10.3. c_{1}, …, c_{n} が k の相異なる元ならば、 c_{1}X_{1} +c_{2}X_{2} +… c_{n}X_{n} は上の補題の α の条件を満たす。問題 10.1. H = {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} ∈ 𝔖_{4} とする。このとき、 4-変数有理関数体 L = ℂ(X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}) の H-不変元全体のなす体 L^{H} の元を 10 個挙げなさい。 (どのような元をとるかは自由だが、できるだけ自明でないものを選ぶよう努力していただきたい。 )