代数学特論 II 要約 No.10

今日のテーマ:

今回は $k$ は無限個の元を持つ体とする。 (これには例えば体 $k$ が $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ を部分体に含めば十分)

補題 10.1   体 $k$ 上の $n$-変数多項式環 $k[X_1,\dots,X_n]$ の商体($n$-変数有理関数体) $L=k(X_1,\dots,X_n)$ には $n$-個の元の対称群 $\frak S_n$ が作用している。 すなわち、任意の $\sigma \in \frak S_n$ に対して、$L$ の元 $f$ の $\sigma$ による変換 $f^{\sigma}$ が、

$$f^{\sigma}(X_1,\dots,X_n)=f(X_{\sigma{1}},\dots,X_{\sigma{n}})$$

によって定義されて、任意の $f,g\in L$ および任意の $\sigma,\tau \in \frak S_n$ に対して、

1.

$(f+g)^{\sigma}= f^{\sigma} +g^{\sigma}$

2.

$(fg)^{\sigma}= f^{\sigma} g^{\sigma}$

3.

$f^{\sigma\tau}=(f^{\sigma})^{\tau}$

をみたす。

補題にするといかめしいが、要するに変数の置換を行っているだけである。 たとえば、 $\sigma=(1\ 2\ 3)\in \frak S_3$ と有理式 $f\in k(X_1,X_2,X_3)$に対して、

$$f^\sigma(X_1,X_2,X_3)=f(X_2,X_3,X_1)$$

(もっと具体的には $(X_1+X_2^3+X_3X_1)^\sigma= (X_2+X_3^3+X_1X_2)^\sigma$) 等々.

定義 10.1   上の補題の記号の元で、 $\frak S_n$ の部分群 $H$ に対して、$L^H$ を

$$L^H= \{ f\in L; f^{\sigma}=f \quad (\forall \sigma \in H) \}$$

で定義する。

例えば $K=L^{\frak S_n}$ は $k$ 上の$n$-変数有理式のうち、対称式の 全体を集めたものである。

定理 10.1   上の記号の元で、 $\frak S_n$ の任意の部分群 $H$ にたいして、

1.

$\frak S_n$ の任意の部分群 $H$ にたいして、 $L^H$ は $L$ の部分体である。

2.

$H_1,H_2$ がともに $\frak S_n$ の部分群で $H_1\subset H_2$ ならば $L^{H_1}\supset L^{H_2}$ がなりたつ。

3.

$[L:L^H]=\vert H\vert$.

4.

実は $L$ の部分体で $K$ を含むもの($L$ と $K$ の中間体)は $L^H$ の形のものに限る。

定理10.1の証明には次の補題を使えばよい。

補題 10.2   $L,K$ は上の通りとする。$H$ は $\frak S_n$ の部分群 とし、以下では $M=L^H$ と書くことにする。 いま、 $\alpha\in L$ を $L=K(\alpha)$ なるように選び、

$$F(T)=\prod_{\sigma\in H}(T-\alpha^{\sigma})$$

とおく。このとき、

1.

$F(\alpha)=0$.

2.

$\deg(F)=\vert H\vert$.

3.

$F\in M[T]$. すなわち $F$ の $T$ の多項式としての 係数はすべて $M$ の元である。

4.

$L=M(\alpha)$.

5.

任意の $\sigma \in H$ にたいして、 $\alpha^{\sigma}$ は $M$ 上 $\alpha$ と共役である。 すなわち $\alpha$ の $M$ 上の最小多項式は $\alpha^{\sigma}$ の $M$ 上の最小多項式と一致する。

上の補題の条件を満たすような $\alpha$ の存在は既に示してあるが、 例えば、

補題 10.3   $c_1,\dots,c_n$ が $k$ の相異なる元ならば、 $c_1X_1+c_2X_2+\dots c_nX_n$ は上の補題の $\alpha$ の条件を満たす。

問題 10.1   $H=\{(1), (1\ 2)(3\ 4), (1\ 3)(2\ 4), (1\ 4)(2\ 3)\}\in \frak S_4$とする。このとき、 $4$-変数有理関数体 $L={\Bbb C}(X_1,X_2,X_3,X_4)$ の $H$-不変元全体のなす体 $L^H$ の元を10個挙げなさい。 (どのような元をとるかは自由だが、できるだけ自明でないものを選ぶよう 努力していただきたい。)