代数学特論 II 要約 NO.12

今日のテーマ:

変数の置換について対称な式 3 今回を通じて、 L = k(X_{1}, …, X_{n}), K = L^{𝔖_{n}} (k-上の n-変数有理式

のうちで、 X_{1}, …, X_{n} の対称式であるもの全体) とおく。定理 10.1 で現れる 𝔖_{n} の部分群 H → H による不変体 L^{H} という対応は、じつは 𝔖_{n} の部分群と、 L と K の中間体 (L の部分

体で K を含むもの) の間の一対一対応を与えている。この一般化がいわゆるガロア理論である。この講義ではそこまで触れられなかったが、定理 10.1 の証明そのものは (4) を除きほぼ完結している。ここではその証明の補遺になるものをいくつか問題としておく。

いま、 𝔖_{n} の部分群 H をとって、さらに α ∈ L を L = K(α) なるように選ぶと、補題 10.2 (と講義での注意) で証明した通り、

F (T) = ∏_{σ∈H}(T − α^{σ})

は L^{H} 上の α の最小多項式になり、したがって [L : L^{H}] = [L^{H}(α) : L^{H}] = deg(F) = |H| がなりたつ。

このことから、定理 10.1 の (1),(2),(3) はすぐに従う。

このような α の存在 (補題 10.3) を示すためには、次のような問題を解けば良い。問題 12.1. L = k(X_{1}, …, X_{n}), K = L^{𝔖_{n}} (k-上の n-変数有理式のうちで、 X_{1}, …, X_{n} の対称式であるもの全体) とおくとき、 [L : K] を求めよ。問題 12.2. 補題 10.3 の条件のもとで、 α_{0} = c_{1}X_{1} + c_{2}X_{2} + … c_{n}X_{n} の K 上の共役元をすべて求めなさい。 (それらは何個あるか？ ) 問題 12.3. 上の二つの問題から、補題 10.3 の従うことが分かる。それはなぜか。

定理 10.1(4) を証明するのは今回の講義だけの知識では少し足りない。どのような道筋で証明されるかは、次の二つの問題の形式で出しておこう。解けなくても気にやむ必要はない。問題 12.4. L の K-同型、すなわち、 L から L への環準同型 ϕ で全単射であり、かつ K の上では恒等写像であるものは、 𝔖_{n} のある元 σ による作用で与えられること、すなわち、

ϕ(f) = f^{σ} (∀f ∈ L)

を示しなさい。

2 代数学特論 II 要約 NO.12

問題 12.5. L の部分体 M で K を含むものをとると、

(1) α の M 上の共役は全て L に属する。すなわち、 α の M 上の最小多項式 m(T) は L まで係数を拡大すると必ず一次式の積に分解する。

(2) m(T) の次数は [L : M] に等しい。

(3) α の共役 β をとると、 L の M 上の自己同型 ϕ で、 ϕ(α) = β を満たすものが存在する。

(4) L の M 上の体としての自己同型は [L : M] 個以上ある。 (5)

H = {σ ∈ 𝔖_{n}; σ(x) = x ∀x ∈ M}

とおくと、 H は 𝔖_{n} の部分群で、 L^{H} ⊃ M.

(6) 4 により、 H の位数 |H| は [L : M] 以上であることが分かる。 (7) 他方、 [L : M] ≤ [L : L^{H}] = |H|.

(8) 以上により、 L^{H} = M が従う。

最後に、次のような問題を出しておこう。解けば不変式の知識が深まるに違いない。問題 12.6. n = 5 とする。 𝔖_{5} の部分群 H で、自明でないもの (つまり、 {(1)} でも 𝔖_{5} 自身でもないもの) を一つ挙げ、 L^{H} の元 f で K の元ではないものを一つ挙げなさい。

できれば f としてはもっと縛りのきついものをとって欲しい (ちょうど H の元のみについて対称になるものを選んで欲しい) が、それについては問わない。この問題に限り一つの H について一問と勘定することにする。 (ただし「単なる文字のつけかえ」すなわち例えば H_{1} = {(1), (1 2)} と H_{2} = {(1), (2 3)} などは実質的に同じであるから (f として違うものを挙げたとしても) 同じ問題とみなす。 )