PICARD 群覚書

1. 予備知識

• ベクトル束: 多様体上のベクトル空間の集まり。局所的には直積である。

• 直線束: ベクトル束で、ランクが 1 であるもの。

• 因子:余次元 1 の既約部分多様体の形式的有限和。

• テンソル積:

• グロタンディエク構成: ℕ から ℤ を作るがごとく、既存のアーベル半群からアーベル群を作る構成のこと。要はマイナス元を形式的に付け加えればよい。

2. 多様体 (複素多様体または代数多様体) X のピカール群の定義

直線束の全体にテンソル積で乗法を定義したもの。これは次のようなコホモロジー群と同型になる。

H^{1}(X, 𝒪_{X}^{×})

直線束は因子を使って表現することもできる。いっぱんに、因子 D にたいして、 ( 𝒪(D) なる層に対応する) 直線束 [D] を定義することができる。

二つの因子 D_{1}, D_{2} が線型同値であるとは、

D_{1} − D_{2} = (f)

なる有理型関数 f が存在するときに言う。 X が射影多様体ならば、

Div(X) ∋ D ↦ [D] ∈ Pic(X)

は群の準同型で、その核は Div_{0}(X) に等しい。 X が射影多様体ならば、この準同型は全射でもある。 (X が複素多様体のときは、直線束で、有理セクションが一つもないものが一般には存在するので、この準同型は全射とは限らない。 )

3. 可換環 R のピカール群の定義

ランク 1 の射影 R-加群の全体 (にテンソル積で加法を定義したもの) からグロタンディエク構成で作った群。

環 R のグロタンディエク群 K_{0}(R) とは、有限生成射影 R-加群の全体に (直和を和として) 半群の構造をいれ、それからグロタンディエク構成で得た群のこと。

P ↦ ⋀^{rank P} P

により、 K_{0}(R) から P ic(R) への準同型が定まる。

4. ピカール多様体

ピカール群の単位元の連結成分を与える群。

5. 余談:アルバネーゼ多様体。

X を包絡するアーベル多様体である。これはピカール多様体と双対の関係にある。