線型代数余話

1. 前書き

ここでは線型代数演習の時間の問題について、幾つか考えるヒントになりそうなことやならなそうなことを述べる。 (すでに一学期で線型代数の知識をある程度身につけていることを仮定している。 )

場合によっては比喩を使うが、比喩にはもちろん限界がある。例えばよくいわれるのは、『1 + 1 = 2 だが、猫+ネズミはネズミ

が食われて猫だけだ』という類の笑い話である。しかし (期待される答えの)2 匹がいきなり 1 匹になったからにはすくなくとも「何か」が起こったことが分かる。 (ネズミファンには考えたくないかも知れない。失礼。 )

また、一本 30 円のボールペンは 5 本で 5 × 30 = 150 円になりそうなものであるが、安売りで 5 本 100 円で売られていることもあるだろう。そこでも期待される答え (150 円) は少なくとも考えの基本にはあるわけだ。 5 本で 170 円だったらやっぱり買わないだろう。 (ただし特製ケースに入って 170 円なら考慮に値する。ここでも 150 円が基本になっている。 )

実際問題、日常生活では「線型」な考え方だけですむことはほとんどない。しかし上のように考えの「基本」としてはとても大事なわけだ。

そのようなことを考えながら、比喩を読んでいって欲しい。文中、知ってそうな人名がでてくるかも知れないが、気のせいであ

る。実在の人物とは全く関係ありません。念のため。

(※) このテキストは諸君の状況などを踏まえてちょっとづつ書いていく (書き足す場所はバラバラである) ので、プリントアウトするには不向きだと思う。 dvi ファイルをダウンロードしたら dviout などで画面から読むことをお勧めする。

1.1. 略語について. 日本語の乱れは言われだして久しいうえに、マスコミもおびただしい量の略語を用いてそれを煽っている気配すら感じられる。

「ハリーポッター」を略して「ハリポタ」さらに「ハリポ」^{1}。紙面に限りのある新聞はともかくとしても、様々な Web page にもこのような略語を使うのはいかがなものか。

数学者自体もさまざまの (場合によっては品のよくない) 略語を用いているので、それらにいちいちメクジラを立てても仕方がないのだが、「線型代数」のことを「センケー」と略すのはとりあえず私の前では避けていただきたい。

1そのうち「ハ」あるいは「ポ」になるだろうというのがウチの予想である。

ジンマシンがでるのである。

「線型」という言葉は、

「ナントカという写像は線型である」「カントカという部分集合は線型である」という風に使われることも多く、このときに上記略語を使う人々が、

混乱しないのか少し心配になる。私の部屋に学生が質問に来て、「先生、センケー分かりません」

などと言われると、学生の顔をしばし眺めて、線型になってないかどうか確かめたくもなろうというもの。どうかわかってくだされ。

1.2. 主語をつけよう. 日本語は便利な言葉で、主語をつけなくても大抵の場合は意味が通じる。しかし、こと数学においてはできるだけ主語を明確にしておいたほうがよい。演習やレポート、試験の答案については特にそのことが言える。

答案の最後が次の行で終わっているのは見るに耐えない。

... ∴ 部分ベクトル空間である。

少なくとも、初級の段階では、このような行を見つけたら自分で補う習慣を身につけたほうが良い。つぎのような文はずっとましである。

... ∴ W は部分ベクトル空間である。

更に言うと、「部分ベクトル空間」という語は「子ども」や「孫」のようにほかのものとの関係を述べているものなので、「何の」部分ベクトル空間か、も明確にしたほうがよい。つまり次のような書き方が一番望ましい。

... ∴ W は V の部分ベクトル空間である。

1.3. 「てにをは」について. 「てにをは」を正しく使い分けるのはなかなか難しいことであって、とくに初級の段階ではまごつくことも多いかも知れない。しかし早いうちに注意する癖をつけておいたほうが良いと思われるので、ここであえて言っておく。

レポートなどで、他人の答案を写したことをごまかすつもりか、同じような答案で、「てにをは」のみを替えているものをたまに見掛けるが、替えたためにまったく意味が違ってしまっていることがある。 (余談ながら、そのように苦労して違うように書いてみても、実は簡単な計算間違いを皆同じところでしていたりして、どう見ても写したというのがバレバレというのも見掛ける。 )

たとえば、「は」と「が」を入れ換えて、ほぼ同じ意味になることもあるけれども、まったく違う意味になることだってあるのである。

基本は、「日常語だったらどうだろうか」と置き換えて考えてみることである。

• 「私は日本人である。」

• 「私が日本人である。」この二つの違いは明白だろう。よっぽどのことがない限り単独では

後者は使わない。偉そうだからである。日本人はお前だけかよ、とツッコミの一つも入ろうというもの。

だから、 • 「V はベクトル空間である。」

• 「V がベクトル空間である。」も後者を単独で使うことはまずないと心得るべきである。上で、「単独で」と断ったのは、次のような場合がありうるからで

ある。

私が日本人であるのはこのパスポートが証明してくれる。

もちろんこれに相当するような数学の言葉では「が」が許されるわけだ。日本語というのはなかなか難しい。

上の例は「微妙なニュアンス」程度であったが、つぎはどうだろう^{2}。 • 私は小雪ちゃんが好きである。

• 私が小雪ちゃんは好きである。同じ意味と言えるだろうか。次の文はどのようなときに使われると

想像されるだろうか。私は小雪ちゃんは好きである。「私」「小雪ちゃん」のかわりにいろいろな固有名詞をいれて、試し

てみるともっとよい。

違いがわかったら、できるだけ答案では「てにをは」に気をつけていただきたい。

1.4. 記号について. 次の記号は断りなしに用いる。 • ℕ: 自然数全体の集合

• ℤ: 整数全体の集合

• ℚ: 有理数全体の集合

• ℝ: 実数全体の集合

• ℂ: 複素数全体の集合

2繰り返すが、このテキストでの名称はあくまで架空のもので、現実の個人等とは一切関係ありません。

ただし、私は、自然数といえば 0 も含めて考える主義なので、この余話で自然数全体の集合 ℕ といえば、いつでも 0 も含んでいるものとする。

2. ベクトル空間の定義

2.1. 初等コーヒベクトル. コーヒをいれよう。ここでの「初等」の意味はインスタントコーヒと水と砂糖とミルクの量のみを問題にする (種類もあらかじめ決定されている) というところにある。それぞれの量を C, W, S, M と書くことにすると、ローズさんが作った一杯のコーヒは次の量で決まることになる。

(\begin{matrix}C \\ W \\ S \\ M \end{matrix})

もちろんそれぞれの量が違えばコーヒの味は異なる。別の人 (カブレラさん) は

(\begin{matrix}C′ \\ W′ \\ S′ \\ M′ \end{matrix})

というレシピでコーヒを作ったとすると、とりあえず二人で使った材料の総量は

(\begin{matrix}C + C′ \\ W + W′ \\ S + S′ \\ M + M′ \end{matrix})

という具合になる。あるいは、二人で飲む分をどっかのボールにあけて混ぜ合わせた時の、コーヒのレシピをあらわしていると思ってもよい。

もちろん、ローズさんが 2 杯同じ分量を飲んだなら、消費した材料の分量は、

(\begin{matrix}2C \\ 2W \\ 2S \\ 2M \end{matrix})

という具合になるわけだ。

C, W, S, M に負の数が入ったところを、想像できるだろうか。確かに「負の数」の量だけコーヒを使う、とかいうことには意味はない。しかし、例えばローズさんとカブレラさんのコーヒの材料それぞれの使用量の差

(\begin{matrix}C − C′ \\ W − W′ \\ S − S′ \\ M − M′ \end{matrix})

などというのは議論する機会があるかも知れない。「ローズはコーヒはたくさんいれるけどカブレラはミルクをたっぷりだ」などなど。

C, W, S, M 四つの実数の組を上のように縦に並べたベクトルを、「初等コーヒベクトル」と呼ぼう。初等コーヒベクトル同士は、足したり、引いたりできるし、初等コーヒベクトルを実数倍することもできる。

詳細は想像力を働かせて自分で考えてみよう。

ローズとカブレラと言う名前なら、もっとふさわしい話題があったが、それについてはそのテの話題が好きな方の宿題とする。

コーヒ好きの人なら、キリマンジャロとブルーマウンテンと何とかと何とかとをブレンドして、という詳細なレシピを必要とするかも知れない。そのような人は自分で「高等コーヒベクトル」を考えてみよう^{3}。

2.2. 初等コーヒ空間. 初等コーヒベクトル全体を集めて来た集合を「初等コーヒ空間 V_{coffee}」と呼ぶことにする。数学ではこのように、「何とか全体を集めて来て集合を作る」のが常套手段だ。「いまは野球やテニスの話をしているのではなくて、コーヒの話をしているのですよ。」という風に土俵を決めているとも見ることができる。

「全部集めてくる」ということが非常に大事であって、これを常によく意識しておく必要がある。

ローズさんのコーヒベクトル

v_{ローズ} = (\begin{matrix}10 \\ 200 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

とカブレラさんのコーヒベクトル

v_{カブレラ} = (\begin{matrix}5 \\ 250 \\ 2 \\ 5 \end{matrix})

3本当においしいコーヒをいれようと思ったら、材料の量もさることながら、手順、雰囲気、ウツワなども重要な要素になる。それゆえここで言う「高等コーヒベクトル」は高等ではあっても決して高級ではない。わかるかな。

ももちろん V_{coffee} に入っており、そのほかにも、ありとあらゆる「レシピ」が V には入っているのである。例えば、

(\begin{matrix}5000 \\ 775000000.008888 \\ 2 \\ 5 \end{matrix})

などという、地球上にはあり得ないようなコーヒのレシピも、 V_{coffee} には入っている。 (V_{coffee} はあらゆる「可能性」あるいは「紙に書いた (机上の) レシピ」を寄せ集めたようなもので、それが実現可能かどうかはまた別の問題として扱うのである。 )

先にも述べたように、いろいろなレシピの差も考える必要があるから、 V_{coffee} には、 v_{ローズ}− v_{カブレラ}のような、成分に負の数が入っているようなベクトルも入っていると考える。もちろん、

(\begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) ,  (\begin{matrix}−1 \\ −5 \\ −20 \\ −100 \end{matrix}) ,  (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

なども V_{coffee} に入っているわけだ。つまり、

(\begin{matrix}C \\ W \\ S \\ M \end{matrix})

の C, W, S, M にありとあらゆる実数をいろいろととっかえひっかえ入れてえられるすべての「コーヒベクトル」を集めたものが V_{coffee} である。

以上のことをいちいち述べていては時間がかかるので、このことを、

V_{coffee} = \{(\begin{matrix}C \\ W \\ S \\ M \end{matrix}); C, W, S, M ∈ ℝ\}

と略記する。 (セミコロン (;) のところは縦棒 (|) にすることもある。 )

(上の式を書いた途端に分からなくなったり、変な理解の仕方をしたりする学生を私は多く知っているけれども、分かってみれば実に単純なことを言っているのであって、その理解の際には上の例のごとく自分なりの「比喩」を使えば良いのである。 )

初等コーヒベクトルは実数倍したり、 2 つを足したり、引いたり、できるので、「コーヒベクトル空間」自体はそのような特別な空間であるといえる。それが「ベクトル空間」の意味である。 2.3. ベクトル空間の定義の勘どころ. ベクトル空間の定義は、教科書などでは堅苦しいことが書いてあるが、

V が (実) ベクトル空間であるというのは、要は次の二点に尽きる。 • V の二つの元の足し算、引き算がまた V に入ること。

• V の元の実数倍^{4} がまた V に入る。もっと平たくいえば、そのなかで足したり引いたり、実数倍したりで

きる便利なイレモノ (コーヒベクトル空間の例で言えば、「レシピ集」 ) のことをベクトル空間というのである。

足したり引いたり、実数倍した時に、イレモノからはみださないことが肝心で、これを軽視している学生が多いのには驚く程である。

2.4. 実ベクトル空間の例:数ベクトル空間。. 正の数 d に対して、

V_{d} = {(a_{1} ; a_{2} ; a_{3} ; ⋮ ; a_{d}); a_{1}, a_{2}, a_{3}, … a_{d} ∈ ℝ}

は実ベクトル空間である。コーヒベクトル空間はこの例の d = 4 の場合と見ることができるし、そのほかにもスキヤキベクトル空間、寄せ鍋ベクトル空間、などなど、この例をもとにした「お伽話」はいくらでも工夫して作れそうである。各自やってみるとよい。

実数の全体 ℝ も、通常の和と実数倍によって、実ベクトル空間になっていることに注意しておこう。これは ((x) と x とを同一視することによって、 ) 上の例の d = 1 の場合と見ることもできる。

2.5. 実ベクトル空間でないものの例. 次のようなものはどれも実ベクトル空間ではない。

成分が正の実数であるような 2 次元ベクトルの全体

\{(\begin{matrix}a \\ b \end{matrix}); a, b ∈ ℝ, a ≥ 0, b ≥ 0\}

成分が整数であるような 2 次元ベクトルの全体

\{(\begin{matrix}a \\ b \end{matrix}); a, b ∈ ℤ\}

4(少し上級の人向けにいっておくと、ここの「実数倍」は状況に応じて「複素数倍」などの語句に置き換え、複素ベクトル空間、あるいはもっと一般に体上のベクトル空間の定義をすることができる。 )

第一成分が有理数、第二成分が実数であるような 2 次元ベクトルの全体

\{(\begin{matrix}a \\ b \end{matrix}); a ∈ ℚ, b ∈ ℝ\}

それぞれなぜ実ベクトル空間でないのか考えてみるとよい。二次元平面上で、それぞれのベクトル空間の全体がどのような部分を占めているかについても少し想像してみよう。

その他にも、「ベクトル空間になりそうで、そうでないもの」の例を幾つかあげてみると、理解が深まる。

2.6. ヒネクレベクトル空間. (注意:この小節の用語はここだけのものである。ことわりなしにほかの場所で使うと確実にバカにされるので注意すること。 )

2 次元ヒネクレベクトル

\begin{matrix}a \\ b \end{matrix}

に次のような加法、実数倍を定義する。

\begin{matrix}a \\ b \end{matrix} + \begin{matrix}c \\ d \end{matrix} = \begin{matrix}a + c + 1 \\ b + d + 2 \end{matrix} , k \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} = \begin{matrix}ka + k − 1 \\ kb + 2k − 2 \end{matrix} ,

ただし、 a, b, c, d, k は実数である。ヒネクレベクトル全体

\{ \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ; a, b ∈ ℝ\}

に上の加法、実数倍を導入したものは、実ベクトル空間になる。

このような例では、さすがに和が通常の公理 (結合法則、交換法則) を満たすことなどを注意深く確かめる必要があるだろう。

ただし、この一見変なベクトル空間は実はとても安直に作られている。腕に覚えがあるものはどのようにすればこのような例を作ることができるか考えてみるとよい。

2.7. 一次独立 (線型独立) 性. またもや初等コーヒベクトル空間について考えよう。「初等」だからコーヒ、水、砂糖、ミルクの 4 種類 (正確には、 4 成分) の\underline{量}のみを問題にすることは、前に述べた通りである。

負の成分について悩む可能性を減らすために、次の状況を考えることにする。

(*) 「究極の」初等コーヒレシピをつくろう。既にコーヒーのレシピの大枠は決まっていて、あとはコーヒ, 水, 砂糖, ミルクの量をミリグラム単位で増減してぴったりのやつを作ればよい。

線型代数の手法は、しばしばこのような「微小の増減」を問題にする時に有効になる。 (厳密に言えば、最初のコーヒ等の量を上回る値を減らすことなどには意味がない。これはこの比喩の限界である。 ) 多変数関数の微分なども、この伝で説明できるのであるが、ここではそれについてはこれ以上は触れない。

さて、レシピを作る時に、分かりやすいのは、

(1) 粉コーヒ

(2) 純水

(3) 粉砂糖

(4) 粉ミルクの量を混ぜ込んだり、減らしたりすることで、これは基本ベクトル

e_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , e_{2} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , e_{3} = (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , e_{4} = (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

の 4 つを適当に定数倍して足したり引いたりしてやることに相当することは、あなたにもお分かりになるだろう。

しかし、粉ミルクや砂糖ではなくて、牛乳や液体砂糖 (これらは水分を含む) を使っているかも知れない。この場合、牛乳を足すと水分も増える (結果としてコーヒは少し薄くなる。 ) ということに注意を払わなければならない。そう。牛乳を加えるということは、例えば

e_{牛乳} = (\begin{matrix}0 \\ 10 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

という牛乳ベクトルの何倍かを加えることに相当するわけだ。液体砂糖についても同様のことが言えて、これはたとえば

e_{液体砂糖} = (\begin{matrix}0 \\ 5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

という液体砂糖ベクトルの何倍かを加えることを考えることになる。

さて、粉コーヒ, 水, 砂糖、粉ミルク, 牛乳, 液体砂糖とでてきた。それ以外にもコーヒと粉ミルクを混ぜた「インスタントミルクコーヒの粉」

e_{IMC} = (\begin{matrix}3 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

とか、同種のもので砂糖入のものとか、いろいろバリエーションを考えられる。

これらのレシピからの量を増やしたり減らしたりして好みの味を作りたいわけだが、今は 4 成分の量のみを問題にしているので、言うまでもなくこれらの全てを増減させなくてもよい。

水分が足らないと思ったら、牛乳を足して、そのぶん粉ミルクを減らす (現実的には、粉ミルクの代わりに牛乳を使う、ということが多いだろうが) という方法も使えるわけだ。

ひとことで言うと、 4 つの成分を調整するのに、そんなにたくさんの材料を増減する必要はない。 4 つで十分である。その 4 つは先のベクトルに対応する 4 つであってもよいし、それ以外でも良い。ただし、たとえば、

水、粉ミルク、砂糖, 牛乳

ではコーヒの量が調整できない。これは 4 つと言っても水+粉ミルクで牛乳の代用ができるわけだから、実質的には材料は 3 つなわけだ。

同様に、

砂糖、粉ミルク、液体砂糖、牛乳、水

でもダメである。これは 5 つもあるのにやっぱりコーヒ成分が調節できない。やっぱり実質的には材料は 3 つなわけだ。

実質的に何個材料があるか、これに答えるのがベクトルの一次独立、一次従属 (線型独立、線型従属ともいう) の考え方である。

2.8. 一次従属性.

e_{牛乳} = (\begin{matrix}0 \\ 10 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , e_{水} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , e_{粉ミルク} = (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

のあいだには、

e_{牛乳} = 10e_{水} + e_{粉ミルク}

という関係がある。これは、もちろん、牛乳を 1 だけ増やすことが水 10mg と粉ミルク 1mg 増やすことが同等であることを言っていて、このような関係があると、「材料の数」は実質的に 2 つに減ってしまう。

このことを、 e_{牛乳}は e_{2}, e_{4} に一次従属であると表現するわけである。もっと一般的に言うと、ベクトル v_{1} がほかの 2 つのベクトル v_{2}, v_{3}

に一次従属であるとは、

v_{1} = c_{2}v_{2} + c_{3}v_{3}

となる実数 c_{2}, c_{3} があると定義される。

しかしながら、上のように述べるよりも、 3 つのベクトル v_{1}, v_{2}, v_{3} が平等に現れる形で述べるほうが便利なことも多い。そこで、次のような定義にたどりつく。定義 2.1. 三つのベクトル v_{1}, v_{2}, v_{3} が一次従属であるとは、

c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} + c_{3}v_{3} = 0

を満たすような実数の三つ組 (c_{1}, c_{2}, c_{3}) で、 (0, 0, 0) と異なるものが存在するときにいう。

上の定義で、 c_{1} が 0 でなければ、 v_{1} を v_{2} と v_{3} のそれぞれの定数倍の和 (こういうのを線型結合という) で表現できるし、 c_{1} が 0 でも c_{2},c_{3} のどちらか一方が 0 ではないから、 v_{2} か v_{3} のいずれかが他の二つのベクトルの線型結合で書けるわけだ。

ベクトルの数が増えても原理は同じである。念のために定義を書いておくと、次のようになる。定義 2.2. k 個のベクトル v_{1}, v_{2}, …, v_{k} が一次従属であるとは、

c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} + c_{3}v_{3} + … c_{k}v_{k} = 0

をみたすような実数の k 個の組 (c_{1}, c_{2}, …, c_{k}) で、 (0, 0, 0, …, 0) と異なるものが存在するときにいう。

k 個のベクトルが一次従属ではない時、これらは一次独立であるという。

2.9. 気温ベクトル空間. 今度は日本列島各地の気温について考えてみる。ある特定の時刻を考えると、各地の気温は一意的に決まる。

2002 年 10 月 18 日の午後 1 時の気温と言えば、

(\begin{matrix}札幌 \\ 新潟 \\ 仙台 \\ 東京 \\ 名古屋 \\ 高松 \\ 福岡 \\ 鹿児島 \\ 那覇 \end{matrix})

の各成分をそれぞれ決めることができるわけだ。気温をただ足すことにはそれほど意味はないが、今日の平均気温とか、一年を通じた平均気温と言う場合には、これらを足して、然るべき数で割ることになる。つまり、和と、スカラー倍はこれらのベクトルを考える際にも基本的である。かくして「札新仙東名高福鹿那空間」を作ることができる。ここまでは前までの話と変わらない。

問題は、日本の各地の気温、といった場合、「札新仙東名高福鹿那」のみでは不十分である、というところにある。例えば高知も抜けている。各都道府県の県庁所在地ということになると 47 次元のベクトル空間を考えねばならない。

ではそれで十分か、と言うともちろんそうではなくて、高知県でも東部、西部、中央の天候は大きく異なっているし、山間部ではやはり少し気温が低いだろう。

ありとあらゆる地点に対するその地点の気温を全部考えると、次のようなベクトルが出来上がることだろう。

(  ⋮ 札幌の気温 ⋮ 高知の気温 ⋮ 室戸の気温 ⋮ 足摺の気温 ⋮)

これは、結局、 J = { 日本の各地点} の上の関数

J ∋ x ↦ x の気温

を考えているのと同じになる。

この考えをもっと押し進めると、 J 上の実数値関数全体 F (J) に和とスカラー倍を

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (cf)(x) = cf(x) (f, g ∈ F (J), c ∈ ℝ)

で定義して、ベクトル空間を作ることを思い付くことができるだろう。

上のように式で書かれるとビビルかも知れないが、要するに各地点でそれぞれ和やスカラー倍を考えなさい、と言っているのであるから、よくよく考えれば実にやさしいことを言っているのである。

2.10. 線型写像.

2.10.1. 栄養をとろう. 次のような「ダジャレ空間」を考える。

V_{ダジャレ}= \{(\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix}); a, b, c ∈ ℝ\} .

ただし、以下では、 a, b, c はダイコン、ジャガイモ、レタスの量を 100g 単位で考えたものとみなしたい。ダイコン、ジャガイモ、レタスはそれぞれは次のような栄養素をもっている。 ( いずれも 100 g あたりの量を μg 単位で書いてある。文献を参考にしたので当てずっぽうというわけでもないが、かなりいい加減な数字にしてある。 )

ダイコンジャガイモレタス
ビタミン A  0  0  300
ビタミン C  10  15  5
カリウム  250  350  200
ナトリウム  20  1  2
葉酸  35  25  75

ダイコンを a, ジャガイモを b, レタスを c (単位は 100g) だけ食べたとして、そのとき摂取した栄養はと言えば、上の表から

(\begin{matrix}ビタミン A \\ ビタミン C \\ カリウム \\ ナトリウム \\ 葉酸 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 0 & 300 \\ 10 & 15 & 5 \\ 250 & 350 & 200 \\ 20 & 1 & 2 \\ 35 & 25 & 75 \end{matrix}) (\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix})

という行列算で得られるわけだ。 (単に表を行列の記号に直しただけであることに注意。数学者はずぼらだから罫線なんかは引かないのだ。 )

このようにして得られる写像

V_{ダジャレ}→ ℝ^{5}(= 栄養素の空間)

は線型写像の例である。

今は適当な栄養素だけを抜きだして計算したが、栄養素の数を減らしても、増やしても、同様の話ができるし、ダジャレ空間以外で同じような話を考えることもできる。

ほかにもこのような計算はあちこちで見られる。

「マトリックス (行列) はどこにでもある」

といわれるゆえんである。

2.10.2. 線型写像の核. ダジャレ空間の元に対して、ビタミン C と、トータルの重さのみに着目してみよう。

(\begin{matrix}重さ \\ ビタミン C \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 10 & 15 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix})

右辺のことを

ϕ (\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix})

と書くことにしよう。いま、重さを w (×100g) で、ビタミン C が C (μ g) になるようにしたいとするとどうだろう。

幾つかの答えがあることがわかる。答えが一つに絞られないのは、 3 種類の野菜で 2 つの量 (重さとビタミン C) のみしかコントロールしないわけだから当然であるともいえる。

とくに、

(\begin{matrix}−2t \\ t \\ t \end{matrix})

は ϕ で写してやって 0 である。ビタミン C と重量の点だけから言うと、「ダイコン 200g 」と「ジャガイモ 100g + レタス 100g 」とは全く等価であるわけだ^{5}。一般に、幾つかの野菜をとったとして、そのトータルの成分、重量、価格をコントロールするときに、上のように全然別の組合せが (考えている成分等のみに関して言えば) 等価になることがある。これが線型写像の核の考え方である。

上の場合で言うと、

Ker(ϕ) = \{(\begin{matrix}−2t \\ t \\ t \end{matrix}); t ∈ ℝ\}

ということになる。

2.11. 準同型定理. 前小節の例で、ダイコン、ジャガイモ、レタス、の量をうまく加減してやればビタミン C と重量をコントロールできる。ただし、 Ker(ϕ) の元の分は加減してやってもビタミン C や重量に影響を及ぼさない。このことを表現するのが準同型定理である。

2.12. ヤミナベの栄養学. ヤミナベの栄養がどうなるか調べよう。いれるものは

• 肉 (牛、豚、鶏)

• 野菜 (白菜、椎茸、大根)

• その他 (蜜豆、苺大福) まあこのぐらいにしておこうか。ワルノリが好きな読者は更にいろ

いろと検討してみるとよい。

調べる栄養は • ビタミン (A,B12,C,D,E)

• ミネラル (鉄、カリウム、カルシウム)

• アミノ酸 (スレオニン、リジン、アスパラギン)

5念のために言っておくと、鍋をつついていて大根おろしが足らないときにジャガイモとレタスで間に合わせるというわけにはもちろん行かないのであって、これはあくまでビタミン C と重量のみを問題にしているときには二つが等価である、と主張しているに過ぎない。

まあこれもこの程度にしておこう。

前小節までに言ったように投入するものに対してこれらの栄養は近似的に線型写像で表現できる。 (いわゆる単純計算と言うやつである。 )

ところで、例えばビタミン A ならビタミン A のトータルの量は、少し粗く見ると (肉のビタミン A)+(野菜のビタミン A)+(その他のもののビタミン A) という風に計算できる。ほかのビタミン、ミネラル、アミノ酸にも同じような個とがいえるのであって、行列算はそのような意味である種の「ブロック」に分けることができる。

他方で、ビタミンを総じて考えるというのは「ビタミンベクトル」

(\begin{matrix}A \\ B_{12} \\ C \\ D \\ E \end{matrix})

を考えているとも考えられて、こちらのほうでも計算を幾つかのブロックに分けることができる。

このような計算法がいわゆる行列のブロック区分けであって、それは「ベクトル空間の直和」と密接に関係していることが見てとれるだろう。

つまり、この例の場合は、

(材料空間)=(肉空間)+(野菜空間)+(その他のもの空間) (栄養空間)=(ビタミン空間)+(ミネラル空間)+(アミノ酸空間)

なる空間の直和分解があって、それに応じて行列算も分解できるというわけである。

余りクドクド書くと却って面倒なので、あとは読者自らいろいろ考えて欲しい。

3. 行列の計算のテクニック

単なる計算問題といえども、闇雲に計算するばかりでは時間がもったいない。幾つかテクニックを紹介したい。

3.1. その 1:基本列ベクトル. 一番の基本はこれだ。基本列ベクトル

e_{1} = (1 0 0 ⋮ 0) , e_{2} = (0 1 0 ⋮ 0) , e_{3} = (0 0 1 0 ⋮ 0) , …, e_{n} = (0 0 ⋮ 0 1)

に行列 A をかけると、その行列 A の列ベクトルができることをまず覚えておきたい。 (知らなかったものは、簡単に確かめるから自分で確かめてみること。 )

つまり、このような場合には、計算する必要は一切なく、単に行列の特定の列を書き出せばいいわけだ。たとえば、

(\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 \\ 3 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}2 \\ 4 \end{matrix})

慣れればこれぐらいはメノコでできると思う。何でもないようだが、このことだけで解ける問題はかなり多い。

(横ベクトルでも同様の話ができるのだが、まずは縦ベクトルで十分慣れてからにしたほうが良いだろう。 )

3.1.1. 巾零行列 N. 次のような (n × n) 正方行列はよくでてくる。

N = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & … & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & … & 0 & 0 & 0 \\ & & & ... & ... & ... \\ & & & & ... & ... & ... \\ & & & & & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

(つまり、主対角線の一つ上が、 1 で、それ以外が 0.)

この行列については基本ベクトルの行き先をみるのが特に有効である。列ベクトルを見ることにより、容易に次の関係を見ることができる。

Ne_{1} = 0, Ne_{2} = e_{1}, Ne_{3} = e_{2}, …, Ne_{n−1} = e_{n−2}, Ne_{n} = e_{n−1}.

つまり番号が一つづつずれるのである。 e_{1} だけは例外で、これは 0 に写される。 (これを称して、 e_{1} は N を施すと消されるとか、死ぬと表現することがある。若干物騒な表現ではある。 ) N^{2}, つまり N を２回施した結果はどうだろうか。番号は２つづつずれて、 e_{1}, e_{2} は 0 に写されることがわかるだろう。つまり、

N^{2}e_{1} = 0, N^{2}e_{2} = 0, Ne_{3} = e_{1}, …, Ne_{n−1} = e_{n−3}, Ne_{n} = e_{n−2}.

このことは、 N^{2} が次のような行列であらわされることを示している。

N^{2} = (\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & … & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & … & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & … & 0 & 0 & 0 \\ & & & ... & ... & ... \\ & & & & ... & ... & ... \\ & & & & & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

同様にして、 N^{3},N^{4} なども計算できる。 N^{k} は基底を k だけづらすことになるわけだ。 (ただし、 e_{1}, …, e_{k} は N^{k} で消されることになる。 ) N^{n} = 0 であることに、特に注意しよう。

3.1.2. 置換行列. 次のような行列を考える

P = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

巾零行列の N に似てはいるが、左下の 1 の分だけ様相が異なっている。この行列による基本ベクトルの行き先を見てみると、

P e_{1} = e_{3}, P e_{2} = e_{1}, P e_{3} = e_{2}

という具合になっている。これは基底の置換

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix})

に対応している。もっと一般に、 {1, 2, …, n} の置換 σ に対して、それに対応する行列 P_{σ} を

P_{σ}e_{i} = e_{σ(i)}

が成り立つように定義することができる。二つの置換 σ, τ に対して

P_{σ}P_{τ}e_{i} = P_{σ}e_{τ(i)} = e_{στ(i)} = P_{στ}e_{i} (i = 1, 2, …, n)

だから、 P_{σ}P_{τ} = P_{στ} がなりたつことにも注目しよう。 (このような関係式を素早く出せることも、基底の行き先を見ることのご利益である。 )

これは置換の乗法構造を行列のそれに置き換えて考える手段をあたえており、置換群の表現論において基本的な役割を果たす。

3.1.3. ℂ を実ベクトル空間とみる。. 複素数 a + bi を (a, b) と対応させてみる。

φ : ℂ ∋ a + bi ↦ (a, b) ∈ ℝ^{2}

(この対応は全単射であって、しかも、足し算、引き算、実数倍までもがうまく対応している。つまり φ は実ベクトル空間の同型である。 )

φ によって、 1, i がそれぞれ基本ベクトル e_{1}, e_{2} に対応していることに注意しよう。

この同型によって i 倍するという操作

1 ↦^{i×} i

i ↦^{i×} −1

は

e_{1} ↦ e_{2}
e_{2} ↦ −e_{1}

に対応する。 (1, i のところを e_{1}, e_{2} でおきかえただけである。 ) この線型写像は行列

J = (e_{2} − e_{1}) = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

であらわされるから、結局「i 倍する」という作用はこの行列であらわされることになる。 J^{2} = −E であることにも注意しておこう。これは直接計算で確かめても良いし、

e_{1} ↦^{J×} e_{2} ↦^{J×} −e_{1},

e_{2} ↦^{J×} −e_{1} ↦^{J×} −e_{2},

という具合にメノコで確かめてもよい。同様に、複素数 p + qi 倍するという操作は、

pE + qJ = (\begin{matrix}p & −q \\ q & p \end{matrix})

という行列で表現される。これは複素数を行列で表現する一法である。 3.1.4. 体や環に新しく元を付け加えて環を作る。 (上級者向け). この小節の内容は線型代数から逸脱しているが、ついでだから付け加えておく。代数の講義を受けてから振り返ってみるとよいだろう。

環 R と、その元 a_{0}, a_{1}, …, a_{n} が与えられているとき、 R に元 x を付け加えた環 S を作り、 S のなかで x が

f(X) = X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + a_{n−2}X^{n−2} + ⋯ + a_{1}X + a_{0}

の根になるようにしたい、つまり、

(※)  f(x) = x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + a_{n−2}x^{n−2} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} = 0

が成り立つようにしたいということがたまにある。 (例えば、 ℂ は ℝ に X^{2} + 1 の根を付け加えたものである。 )

もしそのような S が\underline{仮にあったとすれば、}

S = R + Rx + Rx^{2} + Rx^{3} + ⋯ + Rx^{n−1}

であることがわかる。というのも、 x^{n} は関係式 (※) により x の n − 1 次以下の多項式で表現しなおすことができる

x^{n} = −a_{n−1}x^{n−1} − a_{n−2}x^{n−2} − ⋯ − a_{1}x − a_{0}

し、 x^{n+1} = x^{n}x もいったん x^{n} を (※) で x の n − 1 次以下の多項式に置き換え、

x^{n+1} = (−a_{n−1}x^{n−1} − a_{n−2}x^{n−2} − ⋯ − a_{1}x − a_{0})x

その後この式を展開して出て来た x^{n} をもう一度 (※) を使って n − 1 次以下に置き換えることができる。 x^{n+2}, x^{n+3}, … も同様であるからである。

となると、やはり

R + Rx + Rx^{2} + Rx^{3} + ⋯ + Rx^{n−1}

に x 倍がどのように作用するかが問題になる。前小節と全く同様な考察により、それは n × n-行列

A = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 & 0 & −a_{0} \\ 1 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 & 0 & −a_{1} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & … & 0 & 0 & 0 & −a_{2} \\ & & ... & ... & ... & & & & ⋮ \\ & & & ... & ... & ... & & & ⋮ \\ & & & & ... & ... & ... & & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & … & 1 & 0 & 0 & −a_{n−3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 1 & 0 & −a_{n−2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 & 1 & −a_{n−1} \end{matrix})

という行列と対応することがわかる。

A は f(A) = 0 を満足することにも注意しておこう。このように、行列により、 R 上の方程式 f(x) = 0 を満足するような x を具体的に構成できるわけである。

3.1.5. 前小節の補遺. 前小節で f(A) = 0 であると述べたが、詳しくは説明しなかった。ここではその説明を補足することにする。

まず、 A の列ベクトルを眺めてやると、

Ee_{1} = e_{1}, Ae_{1} = e_{2}, Ae_{2} = e_{3}, …, Ae_{n−1} = e_{n},
Ae_{n} = −(a_{0}e_{1} + a_{1}e_{2} + a_{2}e_{3} + ⋯ + a_{n−2}e_{n−1} + a_{n−1}e_{n})

が直ちにわかる。第一式から帰納的に e_{k} = A^{k−1}e_{1} が得られることに注意すると、

Ee_{1} = e_{1}, Ae_{1} = e_{2}, A^{2}e_{1} = e_{3}, …, A^{n−1}e_{1} = e_{n},
A^{n}e_{1} = −(a_{0}e_{1} + a_{1}e_{2} + a_{2}e_{3} + ⋯ + a_{n−2}e_{n−1} + a_{n−1}e_{n})

が成り立つことがわかる。これらの式を眺めてやると、右辺をうまく加減してやってうまく消せることに気づくだろう。すなわち、

f(A)e_{1} = A^{n}e_{1} + a_{n−1}A^{n−1}e_{1} + a_{n−2}A^{n−2}e_{1} + ⋯ + a_{1}Ae_{1} + a_{0}Ee_{1} = 0

という関係式が容易に見てとれる。

あとは、 f(A)e_{2}, f(A)e_{3}, …, f(A)e_{n} も同様に計算して 0, とやっても良いのだが、それではホンマニ同様かいな、という疑念が残る。

ここはもっとウマイ手がある。 A のベキ A^{k} と f(A) という行列が可換であることを利用するのである。じっさい、

f(A)e_{2} = f(A)Ae_{1} = Af(A)e_{1} = 0,
f(A)e_{3} = f(A)A^{2}e_{1} = A^{2}f(A)e_{1} = 0,
f(A)e_{4} = f(A)A^{3}e_{1} = A^{3}f(A)e_{1} = 0,
…

とやれば、 f(A)e_{2}, f(A)e_{3}, …, f(A)e_{n} がすべて 0 であることがほとんど計算せずにわかるという寸法である。

f(A)e_{1}, f(A)e_{2}, …, f(A)e_{n} が 0 ならもちろん f(A) 自身が 0 でなければならないから、これで f(A) = 0 の証明ができたことになる。

3.1.6. 基本ベクトル以外のベクトルへのかけ算. 基本列ベクトルへのかけ算の答えが十分早くわかるようになったら、 (といっても、要するに見たままなわけだが、 )

(\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix})

の求め方も少し工夫してみよう。

(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = xe_{1} + ye_{2}

であるということと、行列算の線型性を用いると、

(\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) (xe_{1} + ye_{2}) = x (\begin{matrix}1 \\ 3 \end{matrix}) + y (\begin{matrix}2 \\ 4 \end{matrix})

という具合だ。つまり、行列を列ベクトルに掛けるということは、基本列ベクトルの行き先 (これは、何度も言うように、行列の列ベクトル) に適当な係数をつけて足しあわせる ( 「重ね合わせる」と言ったほうがイメージがわくかも知れない) ことによって得られるわけだ。

上記のような小さい行列の場合にはどちらで考えても同じようなものであるが、大きな行列を考える際にはこの考え方がうまくいくことも多い。

3.2. その 2:行列のブロック区分け. 行列の計算はブロック区分けするとわかりやすくなることがしばしばある。

ここで言うブロック区分けとは、たとえば、

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{matrix}) = (\begin{matrix}90 & 100 & 110 & 120 \\ 202 & 228 & 254 & 280 \\ 314 & 356 & 398 & 440 \\ 426 & 484 & 542 & 600 \end{matrix})

という計算を次のように区切ってみる^{6}。

( \begin{matrix}1 2 5 6 & 3 4 7 8 \\ 9 10 13 14 & 11 12 15 16 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 2 5 6 & 3 4 7 8 \\ 9 10 13 14 & 11 12 15 16 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}90 100 202 228 & 110 120 254 280 \\ 314 356 426 484 & 398 440 542 600 \end{matrix} )

面倒なので区切った部分を記号でおこう。

(♪)  (\begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix}) (\begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix}) = (\begin{matrix}P & Q \\ R & S \end{matrix})

ここで A, B, C, D, P, Q, R, S は 2 × 2 行列で、

A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 5 & 6 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}3 & 4 \\ 7 & 8 \end{matrix}) , C = (\begin{matrix}9 & 10 \\ 13 & 14 \end{matrix}) , …,

という具合ある。

6四角で括っているけれども、これはドコゾで考えたヒネクレベクトルとは全く関係ない。

うえのごとく便宜上おいた式(♪)において、\underline{あたかも普通の行列のごとく} 行列のかけ算をした式

P = A^{2} + BC, Q = AB + CD, …

が\underline{そのまま成り立っている}ということが大事なことである。これは上の例だけでなく、どんな行列を、どのように切っても (ただしかけ算が意味を持つようにそろえて切る必要がある。 ) 成り立つのであって、極めて柔軟である。ここでは全てを書ききれない (なにしろ上のごとき行列を書くのは面倒なのだ。 ) ので、是非自分でいろいろと確かめていただきたい。

ただし行列は可換ではないので、その順序にだけは注意を払う必要がある。

3.2.1. 行列の積を行列と列ベクトルの積に分解する。.

(\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix}s & t \\ u & v \end{matrix}) = (\begin{matrix}s + 2u & t + 2v \\ 3s + 4u & 3t + 4v \end{matrix})

という行列算を、次のように眺めてみよう。

(\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) ( \begin{matrix}s \\ u \end{matrix} \begin{matrix}t \\ v \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}s + 2u \\ 3s + 4u \end{matrix} \begin{matrix}t + 2v \\ 3t + 4v \end{matrix} )

すると上の行列算は、次のような二つの行列算をまとめたものだと見ることができる。

(\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix}s \\ u \end{matrix}) = (\begin{matrix}s + 2u \\ 3s + 4u \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix}t \\ v \end{matrix}) = (\begin{matrix}t + 2v \\ 3t + 4v \end{matrix})

つまり、行列のかけ算は、行列の列ベクトルへのかけ算を、たくさん並べたものだと考えることもできるわけだ。これは行列のサイズがどのようなものであっても同様である。

3.2.2. 行列の列基本変形. ここまでくれば、行列の列基本変形を理解するのはたやすい。

ここでは簡単のため 4 × 4-行列を扱うが、サイズが変わっても同様である。

P = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (e_{1} e_{1} + e_{2} e_{3} e_{4})

四次元縦ベクトル v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} を並べた行列

A = (v_{1} v_{2} v_{3} v_{4})

にたいして、 AP の列ベクトルがどうなるか見てみよう。そのまま計算してもたいしたことはないが、やはり基本ベクトルの行き先を見たほうが楽である。 e_{1}, e_{3}, e_{4} の行き先はやさしい。

e_{1} ↦^{P ×} e_{1} ↦^{A×} v_{1}

e_{3} ↦^{P ×} e_{3} ↦^{A×} v_{3}

e_{4} ↦^{P ×} e_{4} ↦^{A×} v_{4}

e_{2} の行き先だけが P によって味付けされる。

e_{2} ↦^{P ×} e_{1} + e_{2} ↦^{A×} v_{1} + v_{2}

つまり、

AP = (v_{1} v_{1} + v_{2} v_{3} v_{4})

となって、 AP は A の二列目だけを (二列目+一列目) に変更した行列になっている。

このように、行列の基本変形が、 P のような行列によるかけ算と対応していることが大切である。

このことを参考にしながら、教科書の列基本変形の項を読んでみよう。

3.3. 行と列の区別の覚え方. どっちが行で、どっちが列か、というのを覚え切れてない人は、つぎのような覚え方はどうだろうか。

「行」か「列」か区別できればよいのだから、「行」のほうを覚えることに専念する。

大学ノート (もちろん数学用) を思い浮かべる。 1 行目、 2 行目、と言えばどこをさしているかは明確だろう。行列でも、それを大学ノートに書いているところを思い浮かべれば、 1 行目、 2 行目、というのがどこをさすのかは明確であると思う。「行ベクトル」も同じ伝である。

余談だが、「転置行列」のことを「行列を『列行』にかえる」操作だと言っていた私の友人がいた。なかなか面白い覚え方ではある。

3.4. 行列の積は可換ではない。. (これはテクニックと言うより、注意である。 )

(同じサイズの) 正方行列同士を足したり、引いたり、掛けたりできるのは、もうご存知であると思うが、なんでも数の計算と同じようにいくと思っていると、思わぬ間違いを招く。

AB = CA

から B = C を結論する学生は、少ないがやはり存在するようである。

とりあえず、これが成り立たない例を複数知っておくとよい。 • A = 0 の場合。これはまあ論外だろう。 • A が正則でない場合。

A = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , C = 0

これも例外扱いすることもできるかも知れない。

• A が正則でなおかつ AB = CA だが、 B ≠ C の例。

A = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , C = (\begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & −1 \end{matrix}) .

最後の例では、 C = ABA^{−1} を計算している。もっと楽な例は、 A として置換行列を採用するとできる。

A = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , C = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

この例では A が互換 (1 2) に対応する置換行列になっている。したがって A^{−1} は A 自身である。あとは (e_{1}, e_{2} の行き先に注意すれば、 ) メノコで ABA^{−1} = C が確認できるはずである。

3.5. 0 で割る時. もう一つ注意をしておこう。次の行列 A の行列式を求めよという問題をだした。

A = (\begin{matrix}x & −1 & 0 & 0 \\ 0 & x & −1 & 0 \\ 0 & 0 & x & −1 \\ a & b & c & d \end{matrix})

もちろんいろいろなやり方があるのだが、諸君の解答の中にはこんなものもあった。まず第 1 列に 1/x を掛けて第 2 列に足して、

det(A) = det (\begin{matrix}x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x & −1 & 0 \\ 0 & 0 & x & −1 \\ a & b + a/x & c & d \end{matrix}) = x det (\begin{matrix}x & −1 & 0 \\ 0 & x & −1 \\ b + a/x & c & d \end{matrix})

= ⋯ = dx^{3} + cx^{2} + bx + a

という具合である。

x が何であるか、この問題では指定していないのがミソである。上の計算では x = 0 のときうまくいかない。だからこのままでは不完全な解答ということになる^{7}。

では上の計算方針はダメなのか、というとそうではない。もう少し言葉を足せば立派な解答になる。

7実は、はじめに第 2 列を x 倍して第 1 列に足すと、割算を用いずに計算が進むことが分かる。このほうが数倍楽である

つまり、 a, b, c, d, x が変数であると見て、有理式 (多項式の分数の形の式) の範囲内で計算すると、

det(A) = dx^{3} + cx^{2} + bx + a

が成り立つ。これは上の計算で問題ない。ところが、 det(A) も dx^{3} + cx^{2} + bx + a も a, b, c, d, x の多項式であるから、上の両辺は多項式として等しいということになる。

等しい多項式に何を代入しても等しいから、 a, b, c, d, x が変数でなくて、どんな値であっても、両辺は等しい。つまり x = 0 でも上の式は正しい、というわけである。

結局等しいからどっちでもよい、というわけではない。上の論法が効かないような場合も往々にしてあって、その都度考えるのが大事なのである。

考えてみれば、数学の演習というのは気が楽であって、「例外的な場合」を忘れたからといっても、せいぜい先生に怒られたり、単位が足らなかったりするだけである。飛行機の設計、医療現場など、例外処理がうまくいかないととんでもないことになる例はいくらでもある。数学はそれらの局面でも使われているわけであるから、心して問題にあたっていただきたい。

ここで言っておきたいもうひとつのことは、間違いを指摘されてもすぐに消すな、ということである。上の解答でも、「それでは足りない」と指摘されると、証拠隠滅とばかりに全部の計算を跡かたもなく消してしまう学生をよく見掛けるのだが、それでは進歩がない。「あと一歩」というところまで来ているのに、今まで来た道を全部戻ってしまうようでは、余りにももったいないではないか。

もちろん戻らなければならない時も往々にしてある。しかしそれはじっくり考えてからで十分である。自分の黒板での解答を消す時には、じっくり考えてから消していただきたい。

3.6. 逆行列を求める時の注意. 逆行列を求める方法も複数あって、どれでも好きなものを適宜使えばよいのであるが、一つのやり方は次のようなものである。

行列 A に列基本変形のみを行って、単位行列 E をつくる。このとき、単位行列 E にも全く同じ列基本変形を行うと、得た行列 P は実は A の逆行列である。

列基本変形とは、基本行列 P_{1}, …, P_{k} を右から

AP_{1}P_{2} … P_{k}

と掛けて行くことに相当し、その見方で言えば、上の P は P_{1}P_{2} … P_{k} なる積に相当する。つまり、 AP = E ならば、 P は A の逆行列である。と言っているのであって、もちろんこれは正しい。もちろん、行基本変形のみを行う方法もあって、これは、 QA = E ならば、 Q は A の逆行列である。という事実を使うことになる。ところが、諸君の中には、行変形、列変形両方マゼコゼにして使う人

がいて、じつはこれでは逆行列を求めることができないのである。上の説明で言えば、 (間違い) QAP = E ならば、 QP は A の逆行列である。

ということが成り立てばよいのだが、これはうそである。試しに自分で確認してみることをお勧めする。

混ぜるな危険。