代数学 II 要約 NO.2

今日のテーマ:

環の標数、 9 去法、「11 去法」 ℤ/9ℤ での計算は、九去法 (あるいは、ナントカ占い) の名で知られ

ているものの簡単な説明を与える。例題 2.1. 3457 を 9 で割ったあまりを求めよ。 (解答)

[3457]_{9}
=[3 × 10^{3} + 4 × 10^{2} + 5 × 10 + 7]_{9}
=[3]_{9} × [10]_{9}^{3} + [4]_{9} × [10]_{9}^{2} + [5]_{9} × [10]_{9} + [7]_{9}
=[3]_{9} + [4]_{9} + [5]_{9} + [7]_{9}
=[1]_{9}

つまり [10]_{9} = [1]_{9} であることが最大のポイントなわけだ。同様にして、 10 進法で書いた数を 11 で割ったあまりも簡単に求めることができる。 ([10]_{11} = [−1]_{11}) に注意)

環 R に対して、その単位元を 1_{R}, と書き、 1_{R} + 1_{R} を 2_{R} とかく。 3_{R}, 4_{R} 等も同様。 (この ?_{R} の R は「石井浩郎」と「石井琢郎」を区別するのに石井_{浩}とか石井_{琢}とかくのと同様で、言わなくても分かるときには省略する。 ) 定義 2.1 (環の標数). ある正の整数 n があって、

n_{R} = 0

が成り立つとき、このような n のなかで正で最小のものを R の標数と呼ぶ。そのような n がないときには、 R の標数は 0 であると定義する。 R の標数のことを、以下では char(R) と書く。例 . ℤ/nℤ の標数は n である。

上で、「余り」というものがでたついでに、整数同士の「余りを許した割り算」について復習しておこう。この講義では特に断らない限りは次の意味の割り算をする。定義 2.2. m, n ∈ ℤ とし、 n ≠ 0 であるとする。このとき、 m を n で割った商 q と、余り r とは、次の関係式を満たす唯一のものとして定義される。

m = nq + r 0 ≤ r ≤ |n| − 1

この定義では、 m や n が負の数でも構わないということに注意しておく。余りだけについて言えば、次のような言い換えも可能である。

m を n で割った余りが r ⇔ ([m]_{|n|} = [r]_{|n|} かつ 0 ≤ r ≤ |n| − 1)

割り算を用いて次の結果を証明できる補題 2.1. ℤ のイデアルは 0 か、または nℤ (n は正の整数) の形のものに限る。

前回、時間が余ったので次の補題について述べた補題 2.2. 正の整数 n について、

• n が素数ならば環 ℤ/nℤ は体である。

• n が素数でなければ環 ℤ/nℤ は体ではない。先週述べたこの補題の証明はもう少し一般化できる。まず次の言葉を用意しておこう。

定義 2.3.

(1) 環 R の元 x が零因子であるとは、ある R の元 y ≠ 0 があって、 xy = 0 が成り立つときに言う。

(2) 環 R が 0 以外に零因子を持たないとき、 R は整域であると

言う。補題 2.3. (1) 元の個数が有限の環の非零因子は必ず可逆である。

(2) 元の個数が有限の環 R が整域ならば、 R は体である。

レポート問題が複数ある場合には、一つを選んで解くこと。保険のために二つ選んでもよい。その場合には評価はよい方のものを与える。 (和にはならない。 ) 問題 2.1. 10 進法で書いた整数 n (例: n = 1234567890) を 13 で割った余りを求めるのは、 9 や 11 のときほど簡単ではないが、つぎのようにできる。

(1) n を三桁毎に区切る。 (n = |1|234|567|890| )

(2) 区切ったものをそれぞれ符号をつけて加える。

890 − 567 + 234 − 1 = 556

(3) 加えた答えを 13 で割った余りを求める。 (556 を 13 で割った

余りは 10) この最後の答えが n を 13 で割った答えである。これはなぜか説明せよ。問題 2.2. 上と同様な考察により、 10 進法で書いた整数を 17 で割った余りを「一定の桁数毎に区切って」求める方法はないか？問題 2.3. 一般に、素数 p に対して、 10 進法で書いた整数を p で割った余りを「一定の桁数毎に区切って」求める方法はいつでも存在するだろうか？ (但しもちろん p = 2 と p = 5 の場合は例外とする。 )