代数学II 要約 No.3

今日のテーマ:

定義 3.1   環 $R$ が与えられているとする。 このとき、$X$ を変数とする１変数多項式の全体

$$\{ a_n X^n +a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\dots a_{2}X^2+a_1 X+a_0; n$$    は正の整数, $$a_i \in R \}$$

は(多項式の通常の和、積のもとで)環をなす。 この環のことを $R$ 上の１変数多項式環とよび、$R[X]$ で書き表す。 $R[X]$ の(0 以外の)元 $f(X)=\sum_i a_i X^i$ に対して、 その次数 $\deg(f)$ が、

$$\deg(f)=\max\{i; a_i\neq 0\}$$

により定義される。(0 の次数は $-\infty$ と定義する。)

この講義では体の上の１変数多項式環について考えることが多いが、 体以外の環、特に整域ではない環の上の１変数多項式環については 妙なことが起こることも覚えておいてよい。(演習問題を解く時などに役立つ。) 例えば、 $({\mbox{${\Bbb Z}$}}/6{\mbox{${\Bbb Z}$}})[X]$ においては、 $(2X+1)(3X+2)= X+2$ と、1次式と1次式の積が1次式になる場合がある。

体上の多項式、及び多項式環を扱う時には、次のようなよい性質がある。

定理 3.1   体 $k$ 上の1変数多項式環 $k[X]$ に対して、次のことが成り立つ。

1. $f,g\in k[X]\setminus \{0\}$ に対して、
   $$\deg(fg)=\deg(f)+\deg(g)$$
   がなりたつ。
2. (割り算の原理) 任意の $f,g\in k[X]$ (ただし $g\neq 0$ )にたいして、 ある $q,r\in k[X]$ が一意的に存在して、
   $$f=qg +r \qquad (\deg(r)< \deg(g))$$
   がなりたつ。

3. $k[X]$ のイデアル $I$ に対して、ある $f\in k[X]\setminus \{0\}$ が存在して、
   $$I=f(X) k[X]$$
   と書ける。

割り算の原理または上の定理の(3) から導かれる次の定理は１変数多項式環を調べる際に 実に強力な武器を与える。

定理 3.2   体 $k$ 上の多項式 $f,g\in k[X]\setminus \{0\}$ に対して、次のような 多項式 $a,b,d \in k[X]$ が存在する。

1. $d$ は $f,g$ の公約数である。(すなわち、 $f,g \in d k[X]$)
2. $af +bg=d$.

実は $d$ は $f,g$ の（普通の意味での)最大公約数であることが すぐにわかるが、ここではそこまでは述べない。詳しく知りたい方は 代数学 I または C の復習をして欲しい。

体 $k$ と、$k$ 上の1変数多項式環 $k[X]$ のイデアル $I=f(X) k[X]$ とが 与えられている とき、新しい環 $k[X]/I$ が定まる。この環が次回以降の議論の中心になる。

今回はとりあえず次の補題のみをあげておこう。

補題 3.1   $k[X]/(f(X) k[X])$ での $X$ のクラスを $\alpha$ と書くと、 $f(\alpha)=0$.

余談: 前回の講義で、 $R\setminus \{0\}$ という記号を用いたが、 これは、$R$ から $\{0\}$ をひっこ抜いた集合、もっと正確に言うと、 $R$ の元のうち 0 以外のものを集めたもの

$$R\setminus \{0\}=\{ r\in R; r\neq 0\}$$

である。もっと一般に、 $S$ の部分集合 $T$ があたえられたとき、

$$S\setminus T=\{s \in S; s\notin T\}$$

と定義する。

問題 3.1   $\mbox{${\Bbb R}$}$$[X]/((X^2+1)$$\mbox{${\Bbb R}$}$$[X])$ の中での $X$ のクラスを $\alpha$ と書くことにする。 このとき、

1. $\alpha^2$ を簡単にせよ。
2. $(3+4\alpha) (3-4\alpha)$ を簡単にせよ。
3. $5+12\alpha$ には実は逆元がある。それを求めよ。

(ヒント: $X$ のクラスの呼び名は上の $\alpha$ よりももっとふさわしいものがある。 それが何であるかに気づけばやさしいだろう。(但し上の問題では $\alpha$ は あくまでも $\alpha$ と呼ぶこと。))