代数学 II 要約 NO.4

今日のテーマ:

1 変数多項式環とその剰余環 (2), 𝔽_{p} の単純拡大体先週、次の定理が残ってしまっていた。

定理 4.1 (定理 3.2 とおなじ). 体 k 上の多項式 f, g ∈ k[X] \ {0} に対して、次のような多項式 a, b, d ∈ k[X] が存在する。

(1) d は f, g の公約数である。 (すなわち、 f, g ∈ dk[X])

(2) af + bg = d.

次の系は有限体 (等いろいろな体) を作る際の基本である。系 4.1. k[X] の元 p(X) が既約 (つまり、 p(X) の約数は p(X) 自身の定数倍か、定数に限る) ならば、 k[X]/p(X)k[X] は体である。

k が有限体 (例えば、 𝔽_{p}) ならば上の補題のようにして作られた体は必然的に有限体になる。

K = k[X]/p(X)k[X] での X のクラスを ξ と書くと、 K は k に ξ という一つの元を付け加えた体になっている。このような体を k の単純拡大体と呼ぶ。

k[X] の既約元を発見する方法についてはあとあと述べる予定であるが、取りあえず次のことぐらいはとりあえず知っておくとよいだろう。補題 4.1. k[X] の元 f の次数が 2 または 3 であり、かつ f(a) = 0 となるような a ∈ k が存在しないならば、 f は既約である。

この段階で, 有限体の演算の実際について知っておくのも悪くはなかろう。加、減、乗算についてはそんなに難しくはないと思われるので、ここでは 0 以外の元の逆元の計算法について簡単に触れておく。要はユークリッドの互除法であって、代数学 I ですでに目にしているはずである。まずユークリッドの互除法の簡単な復習から。例題 4.1 (ユークリッドの互除法). 等式

72l + 56m = 8

を満たす整数 l, m の組を一組求めよ。 (解答) まず次のような計算を行なう

72÷56 = 1 余り 16  72 =56 × 1+16  (\begin{matrix}72 \\ 56 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}56 \\ 16 \end{matrix})
56÷16 = 3 余り 8  56 =16 × 3+ 8  (\begin{matrix}56 \\ 16 \end{matrix}) = (\begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}16 \\ 8 \end{matrix})
16÷ 8 = 2 余り 0  16 = 8 × 2+ 0  (\begin{matrix}16 \\ 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}8 \\ 0 \end{matrix})

各々の行の行列算を組み合わせると、

(\begin{matrix}72 \\ 56 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}8 \\ 0 \end{matrix})

を得る。この式の右辺に現れる正方行列はすべて M_{2}(ℤ) の元として可逆であることに注意して、上の式を次のように変形することが出来る。

(\begin{matrix}8 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}72 \\ 56 \end{matrix})

= (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −2 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −3 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix}) (\begin{matrix}72 \\ 56 \end{matrix}) = (\begin{matrix}−3 & 4 \\ 7 & 9 \end{matrix}) (\begin{matrix}72 \\ 56 \end{matrix})

この式の第一行に着目すると、 8 = (−3) × 72 + 4 × 56 を得る。 (答え) l = −3, m = 4. 例題 4.2. 𝔽_{31} での 11 の逆元を求めよ。 (解答) 上の例題 4.1 の要領で 31l + 11m = 1 なる l, m ∈ ℤ を求めることにより、

31 × 5 + 11 × (−14) = 1

を得る。この式の両辺を 𝔽_{31} のなかで考えると、

[11]_{31}[−14]_{31} = [1]_{31}

すなわち、 11 の 𝔽_{31} での逆元は −14(= 17) である。問題 4.1. K = 𝔽_{3}[X]/(X^{3} − X − 1)𝔽_{3}[X] での X のクラスを ξ と書き、 a, b ∈ K を a = ξ^{2} + ξ + 1, b = ξ^{2} − 1 で定義する。このとき、 a + b, a − b, ab, b^{−1} をそれぞれ ξ の 2 次以下の式であらわしなさい。問題 4.2. K = 𝔽_{37}[X]/(X^{3} − X + 2)𝔽_{37}[X] での X のクラスを ξ と書くとき、 K での 12ξ^{2} + 5ξ + 1 の逆元を求めなさい。 (なお、この K は実は体であるのだが、そこまでは示さなくてもよい。 )