代数学II 要約 No.4

今日のテーマ:

先週、次の定理が残ってしまっていた。

定理 4.1 (定理3.2 とおなじ)   体 $k$ 上の多項式 $f,g\in k[X]\setminus\{0\}$ に対して、次のような 多項式 $a,b,d \in k[X]$ が存在する。

1. $d$ は $f,g$ の公約数である。(すなわち、 $f,g \in d k[X]$)
2. $af +bg=d$.

次の系は有限体(等いろいろな体)を作る際の基本である。

系 4.1   $k[X]$ の元 $p(X)$ が既約(つまり、$p(X)$ の約数は $p(X)$ 自身の定数倍か、定数 に限る)ならば、 $k[X]/p(X)k[X]$ は体である。

$k$ が有限体 (例えば、 ${\Bbb F}_p$) ならば上の補題のようにして作られた体は必然的に有限体になる。

$K=k[X]/p(X)k[X]$ での $X$ のクラスを $\xi$ と書くと、$K$ は $k$ に $\xi$ という一つの元を付け加えた体になっている。このような体を $k$ の単純拡大体 と呼ぶ。

$k[X]$ の既約元を発見する方法についてはあとあと述べる予定であるが、 取りあえず次のことぐらいはとりあえず知っておくとよいだろう。

補題 4.1   $k[X]$ の元 $f$ の次数が $2$ または $3$ であり、 かつ $f(a)=0$ となるような $a\in k$ が存在しないならば、 $f$ は既約である。

この段階で, 有限体の演算の実際について知っておくのも悪くはなかろう。 加、減、乗算についてはそんなに難しくはないと思われるので、 ここでは 0以外の元の逆元の計算法について簡単に触れておく。 要はユークリッドの互除法であって、代数学I ですでに目にしているはずである。 まずユークリッドの互除法の簡単な復習から。

例題 4.1 (ユークリッドの互除法)   等式

$$72l+56m=8$$

を満たす整数 $l,m$ の組を一組求めよ。

(解答) まず次のような計算を行なう

$$72 \div 56 = 1 16 \qquad\qquad 72= 56 \times 1 + 16 \qquad\qquad \begin{pmatrix}72\\ 56 \e... ...\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}56\\ 16 \end{pmatrix}$$

$$56 \div 16 = 3 8 \qquad\qquad 56= 16 \times 3 + 8 \qquad\qquad \begin{pmatrix}56\\ 16 \e... ... \begin{pmatrix}3 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}16\\ 8 \end{pmatrix}$$

$$16 \div 8 = 2 0 \qquad\qquad 16= 8 \times 2 + \qquad\qquad \begin{pmatrix}16\\ 8 \en... ...= \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}8\\ 0 \end{pmatrix}$$ 0

各々の行の行列算を組み合わせると、

$$\begin{pmatrix} 72\\ 56 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ ... ...egin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$$

を得る。この式の右辺に現れる正方行列はすべて $M_2({\mbox{${\Bbb Z}$}})$ の元として 可逆であることに注意して、上の式を次のように変形することが出来る。

$$\begin{pmatrix}8 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}... ...n{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}72\\ 56 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & ... ...gin{pmatrix}-3 & 4 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}72 \\ 56 \end{pmatrix}$$

この式の第一行に着目すると、 $8=(-3)\times 72+ 4\times 56$ を得る。

(答え)     $l=-3,m=4$.

例題 4.2   ${\Bbb F}_{31}$ での $11$ の逆元を求めよ。

(解答) 上の例題4.1の要領で $31 l+11 m=1$ なる $l,m\in {\mbox{${\Bbb Z}$}}$ を求めることにより、

$$31 \times 5 +11\times (-14)=1$$

を得る。この式の両辺を ${\Bbb F}_{31}$ のなかで考えると、

$$[11]_{31} [-14]_{31}=[1]_{31}$$

すなわち、$11$ の ${\Bbb F}_{31}$ での逆元は $-14(=17)$ である。

問題 4.1   $K={\Bbb F}_3[X]/(X^3-X-1){\Bbb F}_3[X]$ での $X$ のクラスを $\xi$ と書き、 $a,b\in K$ を $a=\xi^2+\xi+1$, $b=\xi^2-1$ で定義する。このとき、 $a+b,a-b,ab, b^{-1}$ をそれぞれ $\xi$ の2次以下の式であらわしなさい。

問題 4.2   $K={\Bbb F}_{37}[X]/(X^3-X+2){\Bbb F}_{37}[X]$ での $X$ のクラスを $\xi$ と書くとき、 $K$ での $12 \xi^2+5\xi+1$ の逆元を求めなさい。 (なお、この $K$ は実は体であるのだが、そこまでは示さなくてもよい。)