代数学 II 要約 NO.5

今日のテーマ:

有限体上の線型代数について諸君は線型代数と言うと ℝ や ℂ の上のそれしか知らないかも知れ

ないが、一般の体についても線型代数学の知識はほとんどそのまま使える。例えば、行列, 行列式, 逆行列 (ガウスの掃き出し法など), 線型空間とその基底、線型写像、などは体が違ってもほとんど扱いは変わらない。例えば問題 5.1 を解いて感じをつかんで頂きたい。

但し、行列の固有値などについて固有方程式を解く必要があるので、その根の取り扱いについて知るまで待たなければならない。また、ノルムの正値性などを使う部分 (二次形式の理論など) は修正する必要があったり、問題によっては体の差が大きく効いてくる場合もある。臨機応変に対応して頂きたい。定義 5.1. 体 K の部分集合 k が 0, 1 を含み、 K の演算をそのまま流用して体になっている時、 k は K の部分体である (K は k の拡大体である) と言う。 K が k の拡大体ならば、 K は k 上の線型空間でもある。 K の k 上の線型空間としての次元 dim_{k} K を [K : k] で書き表し、 K の k 上の拡大次数と呼ぶ。 ([K : k] は有限でない時もある。 ) [K : k] が有限である時、すなわち K が k 上の線型空間として有限次元である時、 K は k の有限次拡大であると言う。補題 5.1. p は k[X] の既約元であるとする。このとき、 k[X]/(p(X)k[X]) の k 上の拡大次数は deg(p) と等しい。補題 5.2. k の拡大体 M, M の拡大体 L が与えられている時、

[L : M][M : k] = [L : k]

がなりたつ。補題 5.3. 有限体 k の拡大体 L の k 上の拡大次数が d ならば、

(#L) = (#k)^{d}

がなりたつ。とくに、 k の標数を p と書くと、 (#k) の元の個数は必ず p^{N} (N は正の整数) の形をしている。

(#? は ? の元の数をあらわす記号である。 ) 問題 5.1. 𝔽_{11} = ℤ/11ℤ の元を成分に持つ行列

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \end{matrix})

の行列式と逆行列とを求めなさい。