代数学II 要約 No.5

今日のテーマ:

諸君は線型代数と言うと $\mbox{${\Bbb R}$}$ や ${\Bbb C}$ の上のそれしか知らないかも知れないが、 一般の体についても線型代数学の知識はほとんどそのまま使える。 例えば、行列, 行列式, 逆行列(ガウスの掃き出し法など), 線型空間とその基底、線型写像、などは体が違ってもほとんど 扱いは変わらない。 例えば問題5.1 を解いて感じをつかんで頂きたい。

但し、行列の固有値などについて固有方程式を解く必要があるので、 その根の取り扱いについて知るまで待たなければならない。 また、ノルムの正値性などを使う部分(二次形式の理論など)は修正する必要があったり、 問題によっては体の差が大きく効いてくる場合もある。臨機応変に対応して頂きたい。

定義 5.1   体 $K$ の部分集合 $k$ が $0,1$ を含み、$K$ の演算をそのまま流用して 体になっている時、$k$ は $K$ の部分体である($K$ は $k$ の拡大体である)と言う。 $K$ が $k$ の拡大体ならば、$K$ は $k$ 上の線型空間でもある。 $K$ の $k$ 上の線型空間としての次元 $\dim_k K$ を $[K:k]$ で書き表し、 $K$ の $k$ 上の拡大次数と呼ぶ。($[K:k]$ は有限でない時もある。) $[K:k]$ が有限である時、すなわち $K$ が $k$ 上の線型空間として 有限次元である時、 $K$ は $k$ の有限次拡大であると言う。

補題 5.1   $p$ は $k[X]$ の既約元であるとする。このとき、 $k[X]/(p(X)k[X])$ の $k$ 上の拡大次数は $\deg(p)$ と等しい。

補題 5.2   $k$ の拡大体 $M$, $M$ の拡大体 $L$ が与えられている時、

$$[L:M][M:k]=[L:k]$$

がなりたつ。

補題 5.3   有限体 $k$ の拡大体 $L$ の $k$ 上の拡大次数が $d$ ならば、

$$(\char93 L)=(\char93 k)^d$$

がなりたつ。 とくに、$k$ の標数を $p$ と書くと、$(\char93 k)$ の元の個数は必ず $p^N$ ($N$ は正の整数)の形をしている。

($\char93 ?$ は $?$ の元の数をあらわす記号である。)

問題 5.1   ${\Bbb F}_{11}={\mbox{${\Bbb Z}$}}/11{\mbox{${\Bbb Z}$}}$ の元を成分に持つ行列

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \end{pmatrix}$$

の行列式と逆行列とを求めなさい。